Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，AD交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，設(shè)△CDE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，連接AC，是否存在這樣的點(diǎn)D，使得∠DAB＝2∠ACO，若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及相應(yīng)的S的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3；(2)S=m2；(3)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，相應(yīng)的S的值為

【解析】

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：()2+4，將C的坐標(biāo)代入，即可求解；

(2)S=S△CED =CExD=m2；

(3)求出sin∠ACM==sin∠DAB，則tan∠DAB=，得到直線AE的表達(dá)式，即可求解．

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：()2()2+4，

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：()2+4=3，

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：()2+4①；

(2)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，﹣m2+2m+3)，

設(shè)直線AD的表達(dá)式為：，

則，解得，

∴直線AD的表達(dá)式為：，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，則，

則S=S△CED =CExD=mm=m2；

(3)存在，理由：

令，則()2+4=0，

解得：，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)，

在OB上截取OM=OA=1，故點(diǎn)M(1，0)，

則∠MCO=∠ACO，

∵∠DAB=2∠ACO，

∴∠ACM=∠DAB，

在△ACM中，設(shè)CM邊上的高為h，

AC=MC==，

則S△AMC=，即2×3=h，

解得：h=，

在△ACM中，sin∠ACM====sin∠DAB，

則tan∠DAB=，

在Rt△AOE中，OA=1，tan∠DAB=，

則OE=，故點(diǎn)E(0，)，

設(shè)直線AE的表達(dá)式為：，

則，解得：，

∴直線AE的表達(dá)式為：y=x+②，

聯(lián)立①②并解得：=或﹣1(舍去﹣1)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，

由(2)知，S=m2 ==，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，相應(yīng)的S的值為．