【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x與x軸相交于點B,其對稱軸為x=3.

(1)求直線AB的解析式;

(2)過點O作直線l,使lAB,點P是l上一動點,設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S,點P的橫坐標(biāo)為t,當(dāng)0<S≤18時,求t的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)t取最大值時,拋物線上是否存在點Q,使OPQ為直角三角形且OP為直角邊,若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=﹣x+6;(2)﹣3≤t<0或0<t≤3;(3)存在.點Q的坐標(biāo)為(3,3)或(6,0)或(﹣3,﹣9).

【解析】

(1)利用拋物線的對稱性得到點B坐標(biāo)為(6,0),再把B點坐標(biāo)代入y=ax2+2x中求出a得到拋物線解析式;接著把一般式配成頂點式得到A點坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式;
(2)易得直線解析式為y=-x,則可設(shè)P點坐標(biāo)為(t,-t),討論:當(dāng)點P在第四象限時(t>0),利用三角形面積公式可得到S=SAOB+SPOB=9+3t,再利用S的范圍可得到t的范圍;當(dāng)點P在第二象限時(t<0),作PM⊥x軸于M,設(shè)對稱軸與x軸交點為N.如圖,利用S=S梯形PANM+SANB-SPMO得到S=[3+(-t)](3-t)+33-(-t)(-t),然后利用S的范圍確定對應(yīng)t的范圍;
(3)依題意得到t=3,則P(3,-3),討論:當(dāng)直角頂點為點O時,OP⊥OQ,易得直線OQ的解析式為y=x,則解方程組

得此時點Q的坐標(biāo);當(dāng)直角頂點為點P時,過點P作直線的垂線交拋物線于點Q,則可設(shè)直線PQ的解析式為y=x+b,接著把P(3,-3)代入求出b得到直線PQ的解析式為y=x-6,然后解方程組得此時Q點坐標(biāo).

解:(1)∵點BO(0,0)關(guān)于x=3對稱,

∴點B坐標(biāo)為(6,0),

B(6,0)代入y=ax2+2x36a+12=0,解得a=﹣

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x;

y=﹣x2+2x=﹣(x﹣3)2+3,

∴頂點A的坐標(biāo)為(3,3),

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.

A(3,3),B(6,0)代入得 ,解得

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6;

(2)∵直線∥AB且過點O,

∴直線解析式為y=﹣x,

設(shè)P點坐標(biāo)為(t,﹣t),

當(dāng)點P在第四象限時(t>0),

S=SAOB+SPOB=63+6|﹣t|=9+3t,

0<S≤18,

0<9+3t≤18,解得﹣3<t≤3.

t>0,

0<t≤3;

當(dāng)點P在第二象限時(t<0),

PMx軸于M,設(shè)對稱軸與x軸交點為N.如圖,

S=S梯形PANM+SANB﹣SPMO [3+(﹣t)](3﹣t)+33﹣(﹣t)(﹣t)

=﹣3t+9,

0<S≤18,

0<﹣3+9≤18,解得﹣3≤t<3.

t<0,

﹣3≤t<0;

綜上所述,t的取值范圍是﹣3≤t<00<t≤3;

(3)存在.

依題意可知,t=3,則P(3,﹣3)

當(dāng)直角頂點為點O時,OPOQ,

∴直線OQ的解析式為y=x,

解方程組 ,此時點Q的坐標(biāo)為(3,3);

當(dāng)直角頂點為點P時,過點P作直線的垂線交拋物線于點Q,

設(shè)直線PQ的解析式為y=x+b,

P(3,﹣3)代入得b=﹣6,

∴直線PQ的解析式為y=x﹣6,

解方程組 ,此時Q點坐標(biāo)為(6,0)或(﹣3,﹣9),

綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(3,3)或(6,0)或(﹣3,﹣9).

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