Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)F是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BCF的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△BFP的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣8；（2）F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題；

（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N．設(shè)F（m， m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)F坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A，連接AF交對(duì)稱軸于P，此時(shí)△BFP的周長(zhǎng)最小，求出直線AF的解析式即可解決問題；

（3）如圖2中，分三種情形討論：①當(dāng)FQ1=FB時(shí)，Q1（0，0）．②當(dāng)BF=BQ時(shí)，易知Q2（0，﹣ ），Q3（0， ）．③當(dāng)Q4B=Q4F時(shí)，設(shè)Q（0，m），構(gòu)建方程即可解決問題；

試題解析：解：（1）對(duì)于拋物線y=x2+3x﹣8，令y=0，得到： x2+3x﹣8=0，解得：x=﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x=0，得到：y=﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有： ，解得： ，∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣8．

（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N．設(shè)F（m， m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8）

∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=FN×8=4FN=4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]=﹣2m2﹣16m=﹣2（m+4）2+32，∴當(dāng)m=﹣4時(shí)，△FBC的面積有最大值，此時(shí)F（﹣4，﹣12）．∵拋物線的對(duì)稱軸x=﹣3，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A，連接AF交對(duì)稱軸于P，此時(shí)△BFP的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AF的解析式為y=ax+b，則有： ，解得： ，∴直線AF的解析式為y=2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．

（3）如圖2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，0），∴BF==．分三種情況討論：

①當(dāng)FQ1=FB時(shí)，Q1（0，0）．

②當(dāng)BF=BQ時(shí)，易知Q2（0，﹣ ），Q3（0， ）．

③當(dāng)Q4B=Q4F時(shí)，設(shè)Q4（0，m），則有82+m2=42+（m+12）2，解得m=﹣4，∴Q4（0，﹣4）

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）或（0， ）或（0，﹣）或（0，﹣4）．