【題目】在平面直角坐標系中,我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“夢之點”,例如點(1,1),(﹣2,﹣2),,…都是“夢之點”,顯然“夢之點”有無數(shù)個.
(1)若點P(2,m)是反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),n≠0)的圖象上的“夢之點”,求這個反比例函數(shù)的解析式;
(2)函數(shù)y=3kx+s﹣1(k,s為常數(shù))的圖象上存在“夢之點”嗎?若存在,請求出“夢之點”的坐標,若不存在,說明理由;
(3)若二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a,b是常數(shù),a>0)的圖象上存在兩個“夢之點”A(x1,x1),B(x2,x2),且滿足﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,令t=b2﹣b+,試求t的取值范圍.
【答案】(1)y=;(2)存在,坐標為(,);(3)t>.
【解析】
(1)根據(jù)“夢之點”的定義得出m的值,代入反比例函數(shù)的解析式求出n的值即可;
(2)根據(jù)夢之點的橫坐標與縱坐標相同,可得關于x的方程,根據(jù)解方程,可得答案;
(3)由得:ax2+(b﹣1)x+1=0,則x2,x2為此方程的兩個不等實根,由|x1﹣x2|=2得到﹣2<x1<0時,根據(jù)0≤x1<2得到﹣2≤x2<4;由于拋物線y=ax2+(b﹣1)x+1的對稱軸為x=,于是得到﹣3<<3,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論.
解:(1)∵點P(2,m)是反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),n≠0)的圖象上的“夢之點”,
∴m=2,
∴P(2,2),
∴n=2×2=4,
∴這個反比例函數(shù)的解析式為y=;
(2)由y=3kx+s﹣1得當y=x時,(1﹣3k)x=s﹣1,
當k=且s=1時,x有無數(shù)個解,此時的“夢之點”存在,有無數(shù)個;
當k=且s≠1時,方程無解,此時的“夢之點”不存在;
當k≠,方程的解為x=,此時的“夢之點”存在,坐標為(,);
(3)由得:ax2+(b﹣1)x+1=0,則x2,x2為此方程的兩個不等實根,
由|x1﹣x2|=2,又﹣2<x1<2得:﹣2<x1<0時,﹣4<x2<2;0≤x1<2時,﹣2≤x2<4;
∵拋物線y=ax2+(b﹣1)x+1的對稱軸為x=,故﹣3<<3,
由|x1﹣x2|=2,得:(b﹣1)2=4a2+4a,故a>;t=b2﹣b+=(b﹣1)2+,
y=4a2+4a+=4(a+)2+,當a>﹣時,t隨a的增大而增大,當a=時,t=,
∴a>時,t>.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸為直線x=1,則下列結論:
①abc>0;
②方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=﹣1,x2=3;
③2a+b=0;
④4a2+2b+c<0,
其中正確結論的序號為_____.
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【題目】如圖,△ABC在平面直角坐標系中,∠ACB=90°,AC=BC,A的坐標是(0,m)(m<0),點C的坐標是(2,0),點B在x軸上方.
(1)如圖1所示,若點B在y軸上,則m的值是 ;
(2)如圖2所示,BC與y軸交于點D.
①若m=﹣6,求點B的坐標;
②若y軸恰好平分∠BAC,求OD的長.
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【題目】如圖數(shù)軸的A、B、C三點所表示的數(shù)分別為a、b、c.若|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,且原點O與A、B的距離分別為4、1,則關于O的位置,下列敘述何者正確?( 。
A. 在A的左邊 B. 介于A、B之間 C. 介于B、C之間 D. 在C的右邊
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【題目】將108個蘋果放到一些盒子中,盒子有三種規(guī)格:一種可以裝10個蘋果,一種可以裝9個蘋果,一種可以裝6個蘋果,要求每種規(guī)格都要有且每個盒子均恰好裝滿,則不同的裝法總數(shù)為_____.
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【題目】如圖,已知△ABC,以AC為直徑的⊙O交AB于點D,點E為弧AD的中點,連接CE交AB于點F,且BF=BC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,=,求CE的長.
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【題目】某校學生會準備調查六年級學生參加“武術類”、“書畫類”、“棋牌類”、“器樂類”四類校本課程的人數(shù).
(1)確定調查方式時,甲同學說:“我到六年級(1)班去調查全體同學”;乙同學說:“放學時我到校門口隨機調查部分同學”;丙同學說:“我到六年級每個班隨機調查一定數(shù)量的同學”.請指出哪位同學的調查方式最合理.
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
武術類 | 0.25 | |
書畫類 | 20 | 0.20 |
棋牌類 | 15 | b |
器樂類 | ||
合計 | a | 1.00 |
(2)他們采用了最為合理的調查方法收集數(shù)據(jù),并繪制了如圖所示的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上圖表提供的信息解答下列問題:
①a=_____,b=_____;
②在扇形統(tǒng)計圖中,器樂類所對應扇形的圓心角的度數(shù)是_____;
③若該校六年級有學生560人,請你估計大約有多少學生參加武術類校本課程.
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【題目】如圖,點O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點E,延長BC到點F,使FC=EC,連結DF交BE的延長線于點H,連結OH交DC于點G,連結HC.則以下四個結論中:①OH∥BF,②GH=BC,③OD=BF,④∠CHF=45°。正確結論的個數(shù)為( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于點,交軸于點是直線下方拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)連接,是否存在點,使面積最大,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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