Question

【題目】下圖是一座拋物線形拱橋，P 處有一照明燈，水面OA 寬4 m．從O，A 兩處觀測(cè)P 處，仰角分別為α，β，且tanα＝ ，tanβ＝.以O 為原點(diǎn)，OA 所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若水面上升1 m，則水面寬多少米（ 取1.41，結(jié)果精確到0.1 m)?

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(3， )；（2）水面上升1 m，則水面寬約2.8 m.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，如圖，設(shè)PH=3x，運(yùn)用三角函數(shù)可得OH=6x，AH=2x，根據(jù)條件OA=4可求出x，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若水面上升1m后到達(dá)BC位置，如圖，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后求出y=1時(shí)x的值，就可解決問(wèn)題．

(1)如圖，過(guò)點(diǎn)P 作PB⊥OA，垂足為B.設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(x，y)．在Rt△POB 中，

∵tanα＝，

∴ OB＝＝2y.

在Rt△PAB 中，∵tanβ＝，

∴ AB＝y.

∵ OA＝OB＋AB，

即2y＋y＝4，

∴ y＝.

∴ x＝2×＝3.

∴ 點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(3，)．

(2)設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx，由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(4，0)，(3，)兩點(diǎn)，可得解方程組，得，

∴這條拋物線表示的二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋2x.當(dāng)水面上升1 m 時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為1，即－x2＋2x＝1，解得x1＝2－，x2＝2＋，

∴x2－x1＝2＋－(2－)＝2≈2.8.

因此，若水面上升1 m，則水面寬約2.8 m.