Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m，m），翻折矩形OABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，得到折痕DE，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，折痕DE所在直線與y軸相交于點(diǎn)G，經(jīng)過點(diǎn)C，F(xiàn)，D的拋物線為．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

（2）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，﹣3），求該拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，在線段CD上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PM=EA？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，m）；（2）；（3）P（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，設(shè)CD=x，則DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果；

（2）由△OEG∽△CDG，即可求出m的值，從而得出C、D的坐標(biāo)，作FH⊥CD于H，則△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（3）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出MF=CD=EA，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由拋物線的對(duì)稱性得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，設(shè)CD=x，則DF=DB=2m﹣x，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：x=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，m）；

（2）∵四邊形OABC是矩形，∴OA=2m，OA∥BC，∴∠CDE=∠AED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD=，∴AE=CE=，∴OE=OA﹣AE=，∵OA∥BC，∴△OEG∽△CDG，∴，即，解得：m=2，∴C（0，2），D（，2），作FH⊥CD于H，如圖1所示：則∠FHC=90°=∠DFC，∵∠FCH=∠FCD，∴△FCH∽△DCF，∴，即，∴FH=，CH=，=，∴F（，），把點(diǎn)C（0，2），D（，2），F(xiàn)（，）代入得：，解得：，，，∴拋物線的解析式為：；

（3）存在；理由如下：如圖2所示：∵CD=CE，CE=EA，∴CD=EA，∵線段CD的中點(diǎn)為M，∠DFC=90°，∴MF=CD=EA，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）；

由拋物線的對(duì)稱性得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

∴在線段CD上方的拋物線上存在點(diǎn)P，使PM=EA，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，），或（，）．