【題目】如圖,在RtΔABC,∠C=90°,AC=4cmBC=3cm,動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A、B移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng),連接PMPN,MN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒,0<t<2.5).

(1)當(dāng)t為何值時(shí),ΔMCN面積為2cm?

(2)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積為cm?若存在,求t的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)當(dāng)t為何值時(shí),以AP、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

【答案】(1)2 (2)存在;1.5 (3)1.5

【解析】

1)由題意可知CNCMt,再用含t的式子表示出三角形CMN的面積,再列方程即可求解;

2)先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng),過(guò)點(diǎn)PPDBC于點(diǎn)D,構(gòu)造平行線PDAC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PD的值,再根據(jù)“S四邊形APNC=SABC-SBPN”列出St的關(guān)系式,根據(jù)其面積等于,列方程求解,再將解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出結(jié)果.

3)分類討論:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求t的值;

解:(1)由題意可知CNCMt,

SMCNCMCN,

解得t2t=﹣2(舍去),

∴當(dāng)t的值為2時(shí),△MCN的面積為2cm2

2)存在,理由如下:

如圖1,過(guò)PPDBC于點(diǎn)D,則PDAC,

∴△PBD∽△ABC

,

由題意可知AC4cmBC3cm,

AB5cm,且BP2tcm,

,解得PDcm,

CNt

BN3t

SPBNBNPD3t)×,

SABCACBC×4×36,

S四邊形APNCSABCSPBN6﹣()=,

S四邊形APNC可得,即,解得,

∴當(dāng)t1.5時(shí),四邊形APNC的面積為cm2

3)由(2)可知AP52t,AM4t,

∵△APM和△ABC中滿足∠A=∠A,

∴由△APM和△ABC相似分兩種情況,即△APM∽△ABC和△AMP∽△ABC

當(dāng)△APM∽△ABC時(shí),則有,即,解得t0,不符合題意;

當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí),則有,即,解得t1.5,

∴當(dāng)t的值為1.5時(shí),滿足△APM和△ABC相似.

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1 ;

2)如圖2,將半圓繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為;設(shè)為半圓上一點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí),求點(diǎn)與線段之間的最短距離;

②當(dāng)半圓兩點(diǎn)時(shí),若的長(zhǎng)為,求此時(shí)半圓與正方形重疊部分的面積;

③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,直接寫(xiě)出的值.

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A

B

價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái))

6

5

日產(chǎn)量(萬(wàn)件/臺(tái))

6

4

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2)如圖2,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接,并延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線于點(diǎn),在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的所有平行四邊形(不包括以為一邊的平行四邊形)

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(3)如圖3,將△AOC沿直線AC翻折得△ACD,再將△ACD沿著直線AC平移得△A'CD'.使得點(diǎn)A′、C'在直線AC上,是否存在這樣的點(diǎn)D′,使得△AED′為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D′的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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拋物線的解析式為________;頂點(diǎn)坐標(biāo)為________

在拋物線上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),并判斷四邊形的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)________

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