【題目】如圖1,在正方形中,,點在邊上,且,以點為圓心,為半徑在其左側(cè)作半圓,分別交)于點,交的延長線于點.
(1) ;
(2)如圖2,將半圓繞點逆時針旋轉(zhuǎn),點的對應(yīng)點為,點的對應(yīng)點為;設(shè)為半圓上一點.
①當(dāng)點落在邊上時,求點與線段之間的最短距離;
②當(dāng)半圓交于兩點時,若的長為,求此時半圓與正方形重疊部分的面積;
③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時,設(shè)切點為,直接寫出的值.
【答案】(1);(2)①點到的最短距離為,②此時半圓與正方形重疊部分的面積為;③
【解析】
(1)連接GO,根據(jù)已知條件,在△DGO中利用勾股定理即可求解;
(2)①如圖,過點O'作O'H⊥BC,根據(jù)三點共線及垂線段最短可得此時MH即為點M到BC的最短距離,根據(jù)已知求得HQ、O'Q、O'M,而MH=HQ- O'Q- O'M即可求得;
②如圖,根據(jù)的長可以求出∠PO'R=60°,此時半圓與正方形重疊部分的面積為,即可求得答案;
③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時有三種情況,分別作圖,
第一種情況:當(dāng)半圓與BC邊相切時,連接O'N,,過點E作ET⊥O'N于T,連接EN,過點E作EK⊥DN于K,再依據(jù)勾股定理以及等面積法求得EK、NK的值,進而可以求得;
第二種情況:當(dāng)半圓與AB邊相切時,連接DN,如圖,根據(jù)已知條件可以判斷四邊形ANED是矩形,進而可以求得;
第三種情況:當(dāng)半圓O'與CD相切于點N時,此時點N與點E重合,不存在.
(1)連接GO,如圖:
∵四邊形ABCD是正方形,AB=10,
∴DC=AD=10,∠ODG=90°,
∵CE=2,DO=3,
∴OG=OE=DC-DO-CE=10-3-2=5,
∴DG==4,
∴AG=AD-DG=10-4=6.
故答案為6.
(2)①如圖,過點O'作O'H⊥BC于點H,交半圓O'于點M,反向延長HO交AD于
點Q,則∠QHC=90°,
根據(jù)三點共線及垂線段最短可得此時點M到BC的距離最短,
∵∠C=∠D=∠QHC=90°,
∴四邊形QHCD是矩形,
∴HQ=CD=10,HQ//CD,
∵點O'是EF'的中點, 點Q是DF'的中點,
∵DE=8,
∴O'Q=DE=4,
∴O'H=10-4=6,
∵CE=2,DO=3,
∴OE=10-2-3=5,即半圓O的半徑為5,
∴MH=HQ- O'Q- O'M=10-4-5=1,
即點M到BC的最短距離為1.
②由①可知半圓O的半徑為5,如圖
設(shè)∠PO'R的度數(shù)為,
由題意得: 的長為=,
∴∠PO'R=60°,
∴∠F'O'P+∠EO'R=120°,
,
∵O'R=P O',
∴△O'RP是等邊三角形,
∴.
∴此時半圓O'與正方形重疊部分的面積為.
③第一種情況:當(dāng)半圓O'與BC相切于N時,連接O'N,,過點E作ET⊥O'N于T,連接EN,
則TN=EC=2,如圖:
∵ON=O'E=5,
∴O'T=ON-TN=5-2=3
∴ CN2=TE2= O'E2- O'T2
∴ CN=TE= =4,
∴=,
=,
過點E作EK⊥DN于K,
∵=EKDN=DECN,
∴EK===,
∵==,
∴,
∴NK=,
∴==;
第二種情況:當(dāng)半圓O'與AB相切于點N時,連接DN,如圖
∵EN⊥AB,
∴四邊形ANED是矩形,
∴==,
第三種情況:當(dāng)半圓O'與CD相切于點N時,此時點N與點E重合,不存在,
綜上所述,的值為 或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠計劃招聘兩個工種的工人共120人,兩個工種的工人月工資分別為3200元和4000元.
(1)若某工廠每月支付工人的工資為440000元,那么兩個工種的工人各招聘多少人?設(shè)招聘工種的工人人,填寫下表,并列方程求解;
工種 | 工人每月工資(元) | 招聘人數(shù) | 工廠應(yīng)付工人的 工資(元) |
3200 | |||
4000 |
(2)設(shè)工廠每月支付工人的工資為元,試寫出與之間的函數(shù)表達式,若要求工種的人數(shù)不少于工種人數(shù)的2倍,那么招聘工種的工人多少人時,可使工廠每月支付的工人工資最少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠以每千克200元的價格購進甲種原料360千克,用于生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)1件A產(chǎn)品或1件B產(chǎn)品所需甲、乙兩種原料的千克數(shù)如下表:
產(chǎn)品/原料 | A | B |
甲(千克) | 9 | 4 |
乙(千克) | 3 | 10 |
乙種原料的價格為每千克300元,A產(chǎn)品每件售價3000元,B產(chǎn)品每件售價4200元,現(xiàn)將甲種原料全部用完,設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品m件,公司獲得的總利潤為y元.
(1)寫出m與x的關(guān)系式;
(2)求y與x的關(guān)系式;
(3)若使用乙種原料不超過510千克,生產(chǎn)A種產(chǎn)品多少件時,公司獲利最大?最大利潤為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A(1,1),在x軸上確定點P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的點P的個數(shù)共有( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為的直徑,為上一點,且點不與點重合,點為半徑的中點,過點作交的延長線于點,連接.
(1)求證:點為的中點;
(2)連接,若,請直接寫出的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市舉行職工五人制足球聯(lián)賽,共賽 17 輪(即每隊均需參賽 17 場),記分辦法是勝一場得 3分,平一場得 1 分,負一場得 0 分 . 若 足球隊總積分為 16 分,且踢平場數(shù)是所負場數(shù)的整數(shù)倍,試推算 足球隊所負場數(shù)的情況有( )
A.1 種B.2 種C.3 種D.4 種
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上,甲從學(xué)校去圖書館,乙從圖書館回學(xué)校,甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā),乙先到達目的地.兩人之間的距離y(米)與時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)根據(jù)圖象信息,當(dāng)t=________分鐘時甲乙兩人相遇,甲的速度為________米/分鐘;
(2)求出線段AB所表示的函數(shù)表達式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在RtΔABC,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,動點M、N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A、B移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,MN,設(shè)移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).
(1)當(dāng)t為何值時,ΔMCN面積為2cm?
(2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積為cm?若存在,求t的值,若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時,以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似?
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