Question

【題目】已知拋物線 和直線l：．
（1）求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）設(shè)A、B是拋物線與直線的兩個交點，點P是線段AB的中點，已知無論a為何值，點P在一條定拋物線上，試求這條定拋物線的解析式；
（3）設(shè)A、B是拋物線與直線的兩個交點，將直線l向下平移7個單位恰好與拋物線有且只有一個公共點C，求△ABC的面積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y=4x2+5；（3）．

【解析】

（1）由2x2=ax+5得2x2-ax-5=0，根據(jù)△=（-a）2-4×2×（-5）=a2+40＞0即可得證；
（2）設(shè)點A（x1，ax1+5）、B（x2，ax2+5），由x1、x2為方程2x2-ax-5=0的兩實數(shù)根知x1+x2=，根據(jù)點P為線段AB的中點知P（），即可得點P的坐標為（+5），由4×（+5知點P在拋物線y=4x2+5上；
（3）由平移后的直線y=ax-2與拋物線只有一個交點知ax-2=2x2有唯一解，據(jù)此求得a的值，即可得出點A、B、C的坐標，利用割補法求解可得答案．

（1）由2x2=ax+5得2x2-ax-5=0，
∵△=（-a）2-4×2×（-5）=a2+40＞0，
∴拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）設(shè)點A（x1，ax1+5）、B（x2，ax2+5），
則x1、x2為方程2x2-ax-5=0的兩實數(shù)根，
∴x1+x2=，
∵點P為線段AB的中點，
∴點P（），即（），
∴點P的坐標為（+5），
∵4×（+5，
∴點P在拋物線y=4x2+5上；
（3）直線l：y=ax+5向下平移7個單位后的直線為y=ax-2，
根據(jù)題意知，ax-2=2x2，即2x2-ax+2=0有唯一解，
則（-a）2-4×2×2=0，
解得：a=4或a=-4，
當a=4時，方程為2x2-4x+2=0，解得x=1，
則點C坐標為（1，2），
此時直線l的解析式為y=4x+5，
由得 或 ，
即點A（1- ）、B（1+ ），
如圖1，

S△ABC=S梯形AFGB-S△ACF-S△BCG=；
當a=-4時，方程為2x2+4x+2=0，解得x=-1，
則點C坐標為（-1，2），
此時直線l的解析式為y=-4x+5，
由 得 或 ，
即點A（-1-），
如圖2，

S△ABC=S梯形AFGB-S△ACF-S△BCG= ；
綜上，△ABC的面積為．