【題目】已知△ABC為邊長為6的等邊三角形,D,E分別在邊BC,AC上,且CD=CE=x,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF,CF.
(1)求證:△AEF為等邊三角形;
(2)求證:四邊形ABDF是平行四邊形;
(3)記△CEF的面積為S,
①求S與x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)S有最大值時,判斷CF與BC的位置關(guān)系,并說明理由.
【答案】
(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠ACB=60°,
∵CD=CE,
∴△CDE為等邊三角形,
∴∠CED=60°,
∠AEF=60°,又AE=EF,
∴△AEF為等邊三角形
(2)證明:∵∠FAC=60°,
∴∠FAC=∠ACB=60°,
∴AF∥BC,
∵∠CED=∠CAB=60°,
∴AB∥BF,()
∴四邊形ABDF為平行四邊形
(3)證明:①作AH⊥BC于H,
∵△ABC為邊長為6的等邊三角形,
∴AH=3 ,
∴S△CDF= ×CD×AH= x,
∵△CDE為等邊三角形,CD=x,
∴S△CDE= x2,
∴△CEF的面積S= x﹣ x2;
②CF⊥BC.
x=﹣ =3時,S最大,
∴CD=CE=3,
∵△CDE為等邊三角形,
∴DE=CD=CE=3,
∵E為AC的中點,
∴AE=CE=3
∴AE=EF=3
∴CE=DE=EF=3,
∴∠CDE=∠ECD,
∠ECF=∠EFC,
∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°,
∴2∠ECD+2∠ECF=180°,
∴∠ECD+∠ECF=90°,即∠DCF=90°,
∴CF⊥BC.
【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=60°,由CD=CE及EF=AE,根據(jù)對頂角相等和等邊三角形的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,已征得結(jié)論;
(3)觀察圖形S=S△CDF-S△CDE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以分別求出△CDF,△CDE的面積,就可以計算出求S與x的函數(shù)關(guān)系式;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值時x的值,根據(jù)垂直的定義判斷即可。
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a),還要掌握平行四邊形的判定(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD為⊙O的直徑,AD=6,則BC的長為( )
A.
B.6
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=4,∠CAB=30°,點P是線段AC上的動點,點Q是線段CD上的動點,則AQ+QP的最小值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】成都市的水費實行下表的收費方式:
每月用水量 | 單價 |
不超出(包括) | 2元/ |
超出但不超出(包括)的部分 | 3元/ |
超出的部分 | 4元/ |
(1)周老師家九月份用了的水,應(yīng)付多少水費?
(2)如果李老師家九月份的用水量為,那么應(yīng)付的水費為多少元?
(3)如果曹老師家九月和十月一共用了的水,且已知九月比十月少,設(shè)九月用水量為,那么曹老師這兩個月一共要交多少錢的水費?(可用含的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請你根據(jù)如圖所示的阿寶與仙鶴的對話,解答下列問題:
(1)仙鶴為什么說多邊形內(nèi)角和的度數(shù)不可能是;
(2)若圖中仙鶴所提到的外角的度數(shù)為,請分別求仙鶴所畫的多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)與邊數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE∥CF,且分別交對角線BD于點E,F.
(1)求證:△AEB≌△CFD;
(2)連接AF,CE,若∠AFE=∠CFE,求證:四邊形AFCE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知兩條直線AB,CD被直線EF所截,分別交于點E,點F,EM平分∠AEF交CD于點M,且∠FEM=∠FME.
(1)直線AB與直線CD是否平行,說明你的理由;
(2)如圖2,點G是射線MD上一動點(不與點M,F重合),EH平分∠FEG交CD于點H,過點H作HN⊥EM于點N,設(shè)∠EHN=α,∠EGF=β.
①當(dāng)點G在點F的右側(cè)時,若β=60°,求α的度數(shù);
②當(dāng)點G在運動過程中,α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了掌握我市中考模擬數(shù)學(xué)試題的命題質(zhì)量與難度系數(shù),命題教師赴某市某地選取一個水平相當(dāng)?shù)某跞昙夁M行調(diào)研,命題教師將隨機抽取的部分學(xué)生成績分為5組:第一組85~10;第二組100~115;第三組115~130;第四組130~145;第五組145~160,統(tǒng)計后得到如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(每組含最小值不含最大值)和扇形統(tǒng)計圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共隨機抽取了該年級多少名學(xué)生?并將頻數(shù)分布直方圖補充完整;若將得分轉(zhuǎn)化為等級,規(guī)定:得分低于100分評為“D”,100~130分評為“C”,130~145分評為“B”,145~160分評為“A”,那么該年級1500名考生中,考試成績評為“B”的學(xué)生大約有多少名?
(2)如果第一組只有一名是女生,第五組只有一名是男生,針對考試成績情況,命題教師決定從第一組、第五組分別隨機選出一名同學(xué)談?wù)勛鲱}的感想,請你用列表或畫樹狀圖的方法求出所選兩名學(xué)生剛好是一名女生和一名男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上A點表示數(shù)a,B點示數(shù)b,C點表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a、b滿足|a+2|+(c﹣7)2=0.
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)若將數(shù)軸折疊,使得A點與C點重合,則點B與數(shù) 表示的點重合;
(3)點A、B、C開始在數(shù)軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動,假設(shè)t秒鐘過后,若點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4)請問:3BC﹣2AB的值是否隨著時間t的變化而改變?若變化,請說明理由;若不變,請求其值.
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