Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧BD．下列結(jié)論：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④ 與EF相切；⑤EF∥MN．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.5個(gè)
B.4個(gè)
C.3個(gè)
D.2個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】延長(zhǎng)CB到G，使BG=DE，連接AG．

在△ABG和△ADE中， ，

∴△ABG≌△ADE，

∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，

又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAF=45°

∴∠GAF=∠EAF=45°．

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE，

∴GF=EF=BG+BF，

又∵DE=BG，

∴EF=DE+BF；故①正確；

在AG上截取AH=AM．

在△AHB和△AMD中， ，

∴△AHB≌△AMD，

∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，

又∵∠ABD=45°，

∴∠HBN=90°．

∴BH2+BN2=HN2．

在△AHN和△AMN中，

，

∴△AHN≌△AMN，

∴MN=HN．

∴BN2+DM2=MN2；故②正確；

∵AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAM．

∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°﹣∠ABM﹣∠AMN=180°﹣∠MAN﹣∠AMN=∠AND，

∴∠AEF=∠ANM，

又∠MAN=∠FAE，

∴△AMN∽△AFE，故③正確；

過(guò)A作AP⊥EF于P，

∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，

∴AP=AD，

∴ 與EF相切；故④正確；

∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，

∴∠AMN不一定等于∠AEF，

∴MN不一定平行于EF，故⑤錯(cuò)誤，

所以答案是：B．

【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．