【題目】已知如圖1,在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣1),連接AC,AO=2CO,直線l過(guò)點(diǎn)G(0,t)且平行于x軸,t<﹣1,

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式;
(2)若D為拋物線y= x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn),是否存在直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長(zhǎng)恒相等?若存在,求出此時(shí)t的值;
(3)如圖2,若E、F為上述拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=8,線段EF的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最小值.

【答案】
(1)

解:∵c(0,﹣1),

∴y= x2+bx﹣1,

又∵AO=2OC,

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣2,0),

代入得:1﹣2b﹣1=0,

解得:b=0,

∴解析式為:y= x2﹣1


(2)

解:假設(shè)存在直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長(zhǎng)恒相等,

設(shè)D(a, a2﹣1),

則OD= = = a2+1,

點(diǎn)D到直線l的距離: a2﹣1+|t|,

a2﹣1+|t|= a2+1,

解得:|t|=2,

∵t<﹣1,

∴t=﹣2,

故當(dāng)t=﹣2時(shí),直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長(zhǎng)恒相等


(3)

解:作EN⊥直線l于點(diǎn)N,F(xiàn)H⊥直線l于點(diǎn)H,

設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),

則EN=y1+2,F(xiàn)H=y2+2,

∵M(jìn)為EF中點(diǎn),

∴M縱坐標(biāo)為: = = ﹣2,

由(2)得:EN=OE,F(xiàn)H=OF,

= ﹣2= ﹣2,

要使M縱坐標(biāo)最小,即 ﹣2最小,

當(dāng)EF過(guò)點(diǎn)O時(shí),OE+OF最小,最小值為8,

∴M縱坐標(biāo)最小值為 ﹣2= ﹣2=2.


【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo),可得c=﹣1,然后根據(jù)AO=2CO,可得出點(diǎn)A坐標(biāo),將點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出b值,即可得出函數(shù)解析式;(2)假設(shè)存在直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長(zhǎng)恒相等,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo),分別求出OD和點(diǎn)D到直線l的距離,然后列出等式求出t的值;(3)作EN⊥直線l于點(diǎn)G,F(xiàn)H⊥直線l于點(diǎn)H,設(shè)出點(diǎn)E、F坐標(biāo),表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo),根據(jù)(2)中得出的結(jié)果,代入結(jié)果求出M縱坐標(biāo)的最小值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減。

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②畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的△A2B2C2;

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