【題目】正方形ABCD的邊長是4,點(diǎn)PAD邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是正方形邊上的一點(diǎn),若△PBE是等腰三角形,則腰長為________

【答案】2

【解析】分情況討論:

(1)當(dāng)PB為腰時(shí),P為頂點(diǎn),E點(diǎn)與C點(diǎn)重合,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=AD=4,A=C=D=90°,

PAD的中點(diǎn),

AP=DP=2,

根據(jù)勾股定理得:BP===;

B為頂點(diǎn),則根據(jù)PB=BE′,E′CD中點(diǎn)此時(shí)腰長PB=;

(2)當(dāng)PB為底邊時(shí),EBP的垂直平分線上,與正方形的邊交于兩點(diǎn),即為點(diǎn)E

①當(dāng)EAB上時(shí),如圖2所示:

BM=BP=,

∵∠BME=A=90°,MEB=ABP,

BMEBAP

,,

BE=;

②當(dāng)ECD上時(shí),如圖3所示:

設(shè)CE=x,DE=4x,

根據(jù)勾股定理得:BE2=BC2+CE2PE2=DP2+DE2,

42+x2=22+(4x)2,

解得:x=,

CE=,

BE= ==;

綜上所述:腰長為: ,,;

故答案為: ,.

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(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上,DM的延長線交EG于點(diǎn)N,其余條件不變,試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請寫出猜想,并給予證明;

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上,DM的延長線交CE的延長線于點(diǎn)N,其余條件不變,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請直接寫出猜想.

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