【題目】如圖,在等腰△ABC中,∠BAC90°ABAC1,點(diǎn)DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),在AC上取一點(diǎn)E,使∠ADE45°

1)求證:△ABD∽△DCE

2)設(shè)BDx,AEy,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍,并求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值?

3)在AC上是否存在點(diǎn)E,使△ADE是等腰三角形?若存在,求AE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)見解析;

2yx2x+1;;當(dāng)x時(shí),y有最小值,最小值為;

3)在AC上存在點(diǎn)E,使△ADE是等腰三角形,AE的長(zhǎng)為2

【解析】

1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得:∠B=∠C=∠ADE45°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得:∠ADC=∠B+BAD=∠ADE+CDE,從而得出∠BAD=∠CDE,最后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似即可證出△ABD∽△DCE;

2)由△ABD∽△DCE,可得:,然后分別用xy表示出CD、EC,代入到比例式中即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)點(diǎn)DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與BC重合),即可求出x的取值范圍,最后根據(jù)二次函數(shù)求最值即可;

3)根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論:當(dāng)ADDE時(shí),可得:△ABD≌△DCE,從而可得BDCE,根據(jù)此等式列方程即可求出AE;當(dāng)AEDE時(shí),可得:△ADE為等腰直角三角形,即DEAC,由相似的性質(zhì)得ADBC,根據(jù)三線合一可得DBC中點(diǎn),再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=DC,從而得出:E也是AC的中點(diǎn),即可求出AE; 當(dāng)ADAE時(shí),因?yàn)椤?/span>ADE=45°,可得∠DAE90°,此時(shí)DB重合,不符合題意.

1)證明:

∵∠BAC90°,ABAC

∴∠B=∠C=∠ADE45°

∵∠ADC=∠B+BAD=∠ADE+CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE

2)由(1)得△ABD∽△DCE,

∵∠BAC90°,ABAC1,

BC,CDx,EC1y,

,即yx2x+1=(x2+

∵點(diǎn)DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)

0<BDBC

當(dāng)x時(shí),y有最小值,最小值為;

3)當(dāng)ADDE時(shí),△ABD≌△DCE,

BDCE,

x1y,即xx2x,

x≠0,

∴等式左右兩邊同時(shí)除以x得:x1,將x1代入y= x2x+1中,

AEy2

當(dāng)AEDE時(shí),

∵∠ADE=45°

∴△ADE為等腰直角三角形

DEAC

ADBC

DBC中點(diǎn),

AD=DC

E也是AC的中點(diǎn),

所以,AE;

當(dāng)ADAE時(shí),

∵∠ADE=45°

∴∠DAE90°,DB重合,不符合題意;

綜上,在AC上存在點(diǎn)E,使△ADE是等腰三角形,

AE的長(zhǎng)為2

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已知:如圖,OO上一點(diǎn)P.

求作:過(guò)點(diǎn)PO的切線.

作法:如圖,

作射線OP;

在直線OP外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作A,與射線OP交于另一點(diǎn)B;

連接并延長(zhǎng)BAA交于點(diǎn)C;

作直線PC;

則直線PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,

(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明:

證明: BCA的直徑,

∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依據(jù))

OPPC

OPO的半徑,

PCO的切線(____________)(填推理的依據(jù))

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【題目】為了解我市居民用水情況,在某小區(qū)隨機(jī)抽查了20戶家庭,并將這些家庭的月用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:

月用水量(噸)

4

5

6

8

13

戶數(shù)

4

5

7

3

1

則關(guān)于這20戶家庭的月用水量,下列說(shuō)法正確的是(  )

A.中位數(shù)是5B.平均數(shù)是5C.眾數(shù)是6D.方差是6

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)根據(jù)題意填表;

BCm

1

3

5

7

矩形ABCD面積(m2

   

   

   

   

)能夠圍成面積為100m2的矩形花園嗎?如能說(shuō)明圍法,如不能,說(shuō)明理由.

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