【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于E,OD⊥BC交⊙O于D,DE交BC于F,點P為CB延長線上的一點,延長PE交AC于G,PE=PF
(1)求證:直線PG為⊙O的切線;
(2)求證:GA=GE;
(3)判斷OG與BE的位置關系,并說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)OG∥BE,理由詳見解析.
【解析】
(1)連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質得到∠PEF=∠PFE,∠OED=∠ODE,證明∠OEP=90°,根據(jù)切線的判定定理證明結論;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OEB=∠OBE,根據(jù)對頂角相等得到∠AEG=∠BEP,得到∠AEG=∠A,根據(jù)等腰三角形的判定定理證明;
(3)根據(jù)切線長定理得到∠OGC=∠OGE,根據(jù)三角形的外角性質得到∠OGE=∠AEG,根據(jù)平行線的判定定理證明即可.
(1)證明:連接OE,
∵PE=PF,
∴∠PEF=∠PFE,
∵OD=OE,
∴∠OED=∠ODE,
∵∠DOF=90°,
∴∠ODE+∠OFD=90°,
∵∠OFD=∠PFE,
∴∠OED+∠PEF=90°,即∠OEP=90°,
∴直線PG為⊙O的切線;
(2)證明:∵OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE,
∵∠OEB+∠BEP=90°,
∴∠OBE+∠BEP=90°,
∵∠AEG=∠BEP,
∴∠OBE+∠AEG=90°,
∵∠C=90°,
∴∠OBE+∠A=90°,
∵∠AEG=∠A,
∴GA=GE;
(3)解:OG∥BE,
理由如下:∵GC、GE是⊙O的切線,
∴∠OGC=∠OGE,
∵∠OGC+∠OGE=∠AEG+∠A,∠AEG=∠A,
∴∠OGE=∠AEG,
∴OG∥BE.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊AD,BC的中點,AC分別交BE,DF于G,H,試判斷下列結論:①△ABE≌△CDF;②AG=GH=HC;③2EG=BG;④S△ABG:S四邊形GHDE=2:3,其中正確的結論是( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)的圖象與性質進行了探究,探究過程如下,請補充完整.
(1)函數(shù)的自變量的取值范圍是_________.
(2)下表是與的幾組對應值.
… | 0 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | ||||||
… | … |
則表格中的__________.
(3)如圖,在平面直角坐標系中,描出了以上表格中各組對應值為坐標的點,請根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;試寫出該函數(shù)的一條性質________________________________________________________.
(4)①當直線與函數(shù)的圖象有唯一交點時,的值為___________;
②若直線與函數(shù)無交點,則的取值范圍為_____________.
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【題目】“每天鍛煉一小時,健康生活一輩子”,為了選拔“陽光大課堂”領操員校組織初中三個年級推選出來的15名領操員進行比賽,成績?nèi)缦卤恚?/span>
成績/分 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人數(shù)/人 | 2 | 5 | 4 | 4 |
若任意選擇一名領操員的可能性相同
(1)任意選取一名領操員,選到成績最低領操員的概率是_________.
(2)已知獲得10分的選手中,七、八、九年級分別有1人,2人,1人,學校準備從中隨機選取兩人領操,求恰好選到八年級兩名領操員的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的布袋里裝有4個標有1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同,小明從布袋里隨機取出一個小球,記下數(shù)字為,小紅在剩下的3個小球中隨機取出一個小球,記下數(shù)字為。
(1)計算由、確定的點在函數(shù)的圖象上的概率;
(2)小明和小紅約定做一個游戲,其規(guī)則為:若、滿足>6則小明勝,若、滿足<6則小紅勝,這個游戲公平嗎?說明理由.若不公平,請寫出公平的游戲規(guī)則.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解班級學生數(shù)學課前預習的具體情況,鄭老師對本班部分學生進行了為期一個月的跟蹤調(diào)查,他將調(diào)查結果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:不達標,并將調(diào)查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)C類女生有 名,D類男生有 名,將上面條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“課前預習不達標”對應的圓心角度數(shù)是 ;
(3)為了共同進步,鄭老師想從被調(diào)查的A類和D類學生中各隨機機抽取一位同學進行“一幫一”互助學習,請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學恰好是一男一女同學的概率,
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,面積為的矩形在第二象限,與軸平行,反比例函數(shù)經(jīng)過兩點,直線所在直線與軸、軸交于兩點,且為線段的三等分點,則的值為( )
A.B.
C.D.
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【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,其中圖象與軸交于點,與軸交于點,且經(jīng)過點.
求此二次函數(shù)的解析式;
將此二次函數(shù)的解析式寫成的形式,并直接寫出頂點坐標以及它與軸的另一個交點的坐標.
利用以上信息解答下列問題:若關于的一元二次方程(為實數(shù))在的范圍內(nèi)有解,則的取值范圍是________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線,經(jīng)過點,,三點.
求拋物線的解析式及頂點M的坐標;
連接AC、MB,P為線段MB上的一個動點(不與點M、B重合),過點P作x軸的垂線PQ,若OQ=a,四邊形ACPQ的面積為s,求a為何值時,面積s最大;
點N是拋物線上第四象限的一個定點,坐標為 ,過點C作直線軸,動點在直線l上,動點在x軸上,連接PM、PQ、NQ,當m為何值時,的和最小,并求出和的最小值.
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