【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.

(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形;
(2)如圖1,求AF的長(zhǎng);
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,已知點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①問(wèn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度,若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.

【答案】
(1)

解:∵AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O,

∴OA=OC,

又∵矩形ABCD中,AD∥BC.

∴∠OEA=∠FCO,

∴在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF(AAS).

∴OE=OF,

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

又∵AC⊥EF于點(diǎn)O,

∴四邊形AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)


(2)

解:由(1)可知,四邊形AFCE是菱形,設(shè)AF=FC=CE=AE=x,BF=y,

由題意,有 解得

即:所求AF的長(zhǎng)為5.


(3)

解:①有可能是矩形,理由如下:

當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)移動(dòng)到點(diǎn)B、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),四邊形APCQ是矩形,

此時(shí),二者的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等,則,

t=(5+3)÷1=8(秒),

而點(diǎn)Q的速度為:4÷8=0.5(cm/s),

∴所求時(shí)間為8秒,點(diǎn)Q的速度為0.5cm/s,

由題意可知,RT△ABF≌RT△CDE,且AB=CD=4,BF=DE=3,AF=CE=5,

如圖:當(dāng)四邊形APCQ是平行四邊形時(shí),有AP∥CQ,且AP=CQ,

而 AP=t,CQ=(3+4+5)﹣0.8t,則

t=12﹣0.8t,t=12,

即:當(dāng)以點(diǎn)A、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí),t的值為12


【解析】(1)由判定定理“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”可證,(2)由(1)得,設(shè)AF=FC=CE=AE=x,BF=y,由圖形中存在的等量關(guān)系及勾股定理求證,(3)①若以點(diǎn)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)四邊形是矩形,則點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,點(diǎn)Q與點(diǎn)D 重合,由運(yùn)動(dòng)過(guò)程中時(shí)間相等求解,②則利用平行四邊形的性質(zhì)可以求解.
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.

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