Question

14、如圖，AB為半圓0的直徑，C是半圓上的一點，CD⊥AB于D，⊙O₁切BD于點E，切CD于點F，切半圓周于點G．求證：
（1）A、F、G三點在一條直線上；
（2）AC=AE．

Answer 1

分析：（1）連AG，F(xiàn)G；再連OO₁，由⊙O₁切半圓周于點G，則其延長線必過G點，根據(jù)切線的性質(zhì)得O₁F⊥CD，得到O₁F∥AB，則∠FO₁G=∠AOG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AGO=∠FGO₁，于是判斷A、F、G三點在一條直線上；
（2）連BC，BG，由圓周角定理的推論得到∠AGB=90°，易證Rt△ADF∽Rt△AGB，得到AD•AB=AF•AG，再根據(jù)切割線定理和射影定理分別得到AE²=AD•AB，AC²=AD•AB，
即可得到AC=AE．

解答：證明：（1）連AG，F(xiàn)G；再連OO₁，由⊙O₁切半圓周于點G，則其延長線必過G點，如圖，
∵⊙O₁切CD于點F，
∴O₁F⊥CD，
而CD⊥AB于D，
∴O₁F∥AB，
∴∠FO₁G=∠AOG，
而△OAG和△O₁FG都是等腰三角形，
∴∠AGO=∠FGO₁，
∴A、F、G三點在一條直線上；

（2）連BC，BG，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠AGB=90°，
∴Rt△ADF∽Rt△AGB，
∴AD：AG=AF：AB，
即AD•AB=AF•AG，
又∵⊙O₁切BD于點E，
∴AE²=AF•AG，
∴AE²=AD•AB，
又∵AC²=AD•AB，
∴AC=AE．

點評：本題考查了圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角為直角；也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及切割線定理和射影定理．