Question

【題目】如圖，矩形AOCB的頂點(diǎn)A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、OC的長(zhǎng)度滿足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)，將△BCN沿直線BN折疊，點(diǎn)C恰好落在直線MN上的點(diǎn)D處，且tan∠CBD=

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線BN的解析式；
（3）將直線BN以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向下平移，求直線BN掃過(guò)矩形AOCB的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（0＜t≤13）的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|x﹣15|+ =0，

∴x=15，y=13，

∴OA=BC=15，AB=OC=13，

∴B（15，13）

（2）解：如圖1，過(guò)D作EF⊥OA于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，

由折疊的性質(zhì)可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，

∵tan∠CBD= ，

∴ = ，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，

∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，

∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，

∴∠ONM=∠CBD，

∴ = ，

∵DE∥ON，

∴ = = ，且OE=3，

∴ = ，解得OM=6，

∴ON=8，即N（0，8），

把N、B的坐標(biāo)代入y=kx+b可得 ，解得 ，

∴直線BN的解析式為y= x+8

（3）解：設(shè)直線BN平移后交y軸于點(diǎn)N′，交AB于點(diǎn)B′，

當(dāng)點(diǎn)N′在x軸上方，即0＜t≤8時(shí)，如圖2，

由題意可知四邊形BNN′B′為平行四邊形，且NN′=t，

∴S=NN′OA=15t；

當(dāng)點(diǎn)N′在y軸負(fù)半軸上，即8＜t≤13時(shí)，設(shè)直線B′N′交x軸于點(diǎn)G，如圖3，

∵NN′=t，

∴可設(shè)直線B′N′解析式為y= x+8﹣t，

令y=0，可得x=3t﹣24，

∴OG=24，

∵ON=8，NN′=t，

∴ON′=t﹣8，

∴S=S四邊形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ t2+39t﹣96；

綜上可知S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

【解析】（1）由兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0可得x=15，y=13，即B（15，13）；（2）要利用三角函數(shù)tan∠CBD= ，就須過(guò)D作垂線，把∠CBD放在直角三角形中，再由平行線分線段成比例列出方程，求出OM=6，利用待定系數(shù)法求出直線BN的解析式；（3）須動(dòng)手操作平移BN，可發(fā)現(xiàn)掃過(guò)的圖形分為平行四邊形和五邊形兩種，當(dāng)NN′B′為平行四邊形時(shí)面積利用底高；當(dāng)掃過(guò)面積為五邊形時(shí)，用作差法S四邊形BNN′B′﹣S△OGN′，用t 的代數(shù)式表示兩部分面積即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)關(guān)系式(用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式)．