Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．

（1）如圖1，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

①求拋物線的解析式；

②設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，連接，，，若點(diǎn)在拋物線上，且與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若拋物線與軸交于點(diǎn)D過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)．若以M，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似．并且符合條件的點(diǎn)恰有個(gè)，請直接寫出拋物線的解析式及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）當(dāng)拋物線的解析式為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)拋物線的解析式為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）①利用待定系數(shù)法直接求拋物線的解析式；

②先求解的面積為 分情況討論：當(dāng)在的下方時(shí)，過點(diǎn)作軸交于，設(shè)點(diǎn)利用的面積為，建立方程求解即可，當(dāng)在的上方時(shí)，過點(diǎn)作的平行線，與拋物線的另一交點(diǎn)即為點(diǎn)，利用函數(shù)的交點(diǎn)可得答案；

（2）先求解拋物線的解析式為：，得到.

設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程，由方程解的情況討論得出結(jié)論．

解：①拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)

解得

拋物線的解析式為

②在中，令得，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)到的距離為

設(shè)直線的解析式為

則

解得

直線的解析式為

（I）如圖，若點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過點(diǎn)作軸交于

設(shè)點(diǎn)

則點(diǎn)

無解

此時(shí)點(diǎn)不存在

（II）若點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)作的平行線，與拋物線的另一交點(diǎn)即為點(diǎn)，則

則可設(shè)直線的解析式為

將代入，得

直線的解析式為

令

解得或(舍去)

當(dāng)拋物線的解析式為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

當(dāng)拋物線的解析式為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

理由如下：由點(diǎn)在拋物線上，得

拋物線的解析式為

設(shè)

當(dāng)時(shí)，

即

當(dāng)時(shí)，

即

當(dāng)方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，

解得(負(fù)值舍去)

此時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意

此時(shí)拋物線的解析式為

點(diǎn)的坐標(biāo)為或

當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，

把代入，解得負(fù)值舍去)

此時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意；

此時(shí)拋物線的解析式為

點(diǎn)的坐標(biāo)為或

綜上所述，當(dāng)拋物線的解析式為

點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

當(dāng)拋物線的解析式為時(shí)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或