【題目】如圖,B2m,0)、C3m0)是平面直角坐標系中兩點,其中m為常數(shù),且m0E0,n)為y軸上一動點,以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB2BC,畫射線OA,把ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°ADC,連接ED,拋物線yax2+bx+na≠0)過EA兩點.

1)填空:∠AOB   °,用m表示點A的坐標:A   

2)當拋物線的頂點為A,拋物線與線段AB交于點P,且時,DOEABC是否相似?說明理由;

3)若E與原點O重合,拋物線與射線OA的另一個交點為M,過MMN垂直y軸,垂足為N

①求ab、m滿足的關系式;

②當m為定值,拋物線與四邊形ABCD有公共點,線段MN的最大值為5,請你探究a的取值范圍.

【答案】145(m,﹣m);(2DOE∽△ABC,理由見解析;(3)①b=﹣1am;②a≤2

【解析】

1)由BC的坐標求出OBOC的長,根據(jù)OC-OB表示出BC的長,由題意AB=2BC,表示出AB,得到AB=OB,即三角形AOB為等腰直角三角形,即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD′=D′A′=m,即可確定出A′坐標;
2D′OE∽△ABC,理由如下:根據(jù)題意表示出AB的坐標,由,表示出P坐標,由拋物線的頂點為A′,表示出拋物線解析式,把點E坐標代入整理得到mn的關系式,利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證;
3)①當E與原點重合時,把AE坐標代入y=ax2+bx+c,整理即可得到a,bm的關系式;
②拋物線與四邊形ABCD有公共點,可得出拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,分兩種情況考慮:若拋物線過點C3m0),此時MN的最大值為5,求出此時a的值;若拋物線過點A2m,2m),求出此時a的值,即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍.

解:(1)∵B2m,0),C3m,0),∴OB2m,OC3m,即BCm

AB2BC,

AB2m0B

∵∠ABO90°,

∴△ABO為等腰直角三角形,

∴∠AOB45°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:ODDAm,即Am,﹣m);

故答案為:45;(m,﹣m);

2DOE∽△ABC,理由如下:

由已知得:A2m,2m),B2m,0),

,

P2m,m),

A為拋物線的頂點,

∴設拋物線解析式為yaxm2m,

∵拋物線過點E0n),

na0m2m,即m2n,

OEODBCAB12,

∵∠EOD=∠ABC90°,

∴△DOE∽△ABC;

3)①當點E與點O重合時,E00),

∵拋物線yax2+bx+n過點E,A

,

整理得:am+b=﹣1,即b=﹣1am;

②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點,

∴拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,

若拋物線過點C3m,0),此時MN的最大值為5

a3m2﹣(1+am3m0,

整理得:am,即拋物線解析式為y,

A2m,2m),可得直線OA解析式為yx,

聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得: ,

解得:x5m,y5m,即M5m,5m),

5m5,即m1,

m1時,a;

若拋物線過點A2m2m),則a2m2﹣(1+am2m2m,

解得:am2,

m1,

a2,

則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為a≤2

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以上解法,在數(shù)列求和中,我們稱之為:錯位相減法

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