【題目】如圖,B(2m,0)、C(3m,0)是平面直角坐標系中兩點,其中m為常數(shù),且m>0,E(0,n)為y軸上一動點,以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB=2BC,畫射線OA,把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′,連接ED′,拋物線y=ax2+bx+n(a≠0)過E、A′兩點.
(1)填空:∠AOB= °,用m表示點A′的坐標:A′ ;
(2)當拋物線的頂點為A′,拋物線與線段AB交于點P,且時,△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;
(3)若E與原點O重合,拋物線與射線OA的另一個交點為M,過M作MN垂直y軸,垂足為N:
①求a、b、m滿足的關系式;
②當m為定值,拋物線與四邊形ABCD有公共點,線段MN的最大值為5,請你探究a的取值范圍.
【答案】(1)45;(m,﹣m);(2)△D′OE∽△ABC,理由見解析;(3)①b=﹣1﹣am;②≤a≤2.
【解析】
(1)由B與C的坐標求出OB與OC的長,根據(jù)OC-OB表示出BC的長,由題意AB=2BC,表示出AB,得到AB=OB,即三角形AOB為等腰直角三角形,即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD′=D′A′=m,即可確定出A′坐標;
(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:根據(jù)題意表示出A與B的坐標,由,表示出P坐標,由拋物線的頂點為A′,表示出拋物線解析式,把點E坐標代入整理得到m與n的關系式,利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證;
(3)①當E與原點重合時,把A與E坐標代入y=ax2+bx+c,整理即可得到a,b,m的關系式;
②拋物線與四邊形ABCD有公共點,可得出拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,分兩種情況考慮:若拋物線過點C(3m,0),此時MN的最大值為5,求出此時a的值;若拋物線過點A(2m,2m),求出此時a的值,即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍.
解:(1)∵B(2m,0),C(3m,0),∴OB=2m,OC=3m,即BC=m,
∵AB=2BC,
∴AB=2m=0B,
∵∠ABO=90°,
∴△ABO為等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD′=D′A′=m,即A′(m,﹣m);
故答案為:45;(m,﹣m);
(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:
由已知得:A(2m,2m),B(2m,0),
∵,
∴P(2m,m),
∵A′為拋物線的頂點,
∴設拋物線解析式為y=a(x﹣m)2﹣m,
∵拋物線過點E(0,n),
∴n=a(0﹣m)2﹣m,即m=2n,
∴OE:OD′=BC:AB=1:2,
∵∠EOD′=∠ABC=90°,
∴△D′OE∽△ABC;
(3)①當點E與點O重合時,E(0,0),
∵拋物線y=ax2+bx+n過點E,A′,
∴ ,
整理得:am+b=﹣1,即b=﹣1﹣am;
②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點,
∴拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,
若拋物線過點C(3m,0),此時MN的最大值為5,
∴a(3m)2﹣(1+am)3m=0,
整理得:am=,即拋物線解析式為y=,
由A(2m,2m),可得直線OA解析式為y=x,
聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得: ,
解得:x=5m,y=5m,即M(5m,5m),
令5m=5,即m=1,
當m=1時,a=;
若拋物線過點A(2m,2m),則a(2m)2﹣(1+am)2m=2m,
解得:am=2,
∵m=1,
∴a=2,
則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為≤a≤2.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,G為CD邊中點,連接AG并延長,分別交對角線BD于點F,交BC邊延長線于點E.若FG=2,則AE的長度為( )
A. 6B. 8
C. 10D. 12
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,P是△ABC的高CD上一個動點,以B點為旋轉(zhuǎn)中心把線段BP逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到BP′,連接DP′,則DP′的最小值是( 。
A.2-2B.4﹣2C.2﹣D.-1
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點A,交x軸于點B(-3,0)和點C(1,0),頂點為點M.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點E為x軸上一動點,若△AME的周長最小,請求出點E的坐標;
(3)點F為直線AB上一個動點,點P為拋物線上一個動點,若△BFP為等腰直角三角形,請直接寫出點P的坐標.
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【題目】如圖,在直角坐標系中有菱形OABC,A點的坐標為(10,0),對角線OB、AC相交于點D,雙曲線y=(x>0)經(jīng)過點D,交BC的延長線于點E,且OBAC=160,則點E的坐標為_____.
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【題目】如圖,AB是長為10m,傾斜角為30°的自動扶梯,平臺BD與大樓CE垂直,且與扶梯AB的長度相等,在B處測得大樓頂部C的仰角為65°,求大樓CE的高度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin65°=0.90,tan65°=2.14)
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【題目】閱讀材料:求1+2+22+23+24+…+22017
首先設S=1+2+22+23+24+…+22017 ① 則2S=2+22+23+24+25+…+22018 ②
②﹣①得S=22018﹣1 即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1
以上解法,在數(shù)列求和中,我們稱之為:“錯位相減法”
請你根據(jù)上面的材料,解決下列問題
(1)求1+3+32+33+34+…+32019的值
(2)若a為正整數(shù)且,求
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=5,點P是AC上的動點,連接BP,以BP為邊作等邊△BPQ,連接CQ,則點P在運動過程中,線段CQ長度的最小值是______.
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【題目】拋物線y=﹣x2+(m﹣1)x+m與y軸交于(0,3)點.
(1)求出m的值并畫出這條拋物線;
(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標;
(3)x取什么值時,拋物線在x軸上方?
(4)x取什么值時,y的值隨x值的增大而減小?
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