【題目】如圖,在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線OC上取點A,過點AAHx軸于點H.在拋物線y=x2(x>0)上取點P,在y軸上取點Q,使得以P、O、Q為頂點,且以點Q為直角頂點的三角形與△AOH全等,則符合條件的點A的坐標是__________

【答案】,),(3,),(,2),(

【解析】

此題應分四種情況考慮:

①∠POQ=∠OAH=60°,此時A、P重合,可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式,即可得A點坐標;

②∠POQ=∠AOH=30°,此時∠POH=60°,即直線OP:y=x,聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標,進而可求出OQ、PQ的長,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到點A的坐標.

③當∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°時,此時△QOP≌△AOH,由此求得點A的坐標;

④當∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此時△OQP≌△AOH,由此求得點A的坐標;

①當∠POQ=∠OAH=60°,若以P,O,Q為頂點的三角形與△AOH全等,那么A、P重合;

由于∠AOH=30°,設A坐標為(a,b),

在直角三角形OAH中,tan∠AOH=tan30°== ,

設直線OA的方程為y=kx,把A的坐標代入得k==

∴直線OA的解析式: y=x,聯(lián)立拋物線的解析式,

得:,

解得 , ;

∴A(,);

②當∠POQ=∠AOH=30°,此時△POQ≌△AOH;

易知∠POH=60°,則直線OP:y= x,聯(lián)立拋物線的解析式,得:

解得;

∴P(,3),即可得A(3,);

③當∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°時,此時△QOP≌△AOH;

易知∠POH=60°,則直線OP:y=x,聯(lián)立拋物線的解析式,得:

解得 ,

∴P(,3),

∴OP=2,QP=2,

∴OH=OP=2,AH=QP=2,

∴A(2,2);

④當∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此時△OQP≌△AOH;

此時直線OP:y=x,聯(lián)立拋物線的解析式,得:,

解得 , ;

∴P(, ),

∴QP=,OP=,

∴OH=QP=,AH=OP=,

∴A(,).

綜上可知:符合條件的點A有四個,且坐標為:,),(3,),(,2),(

練習冊系列答案
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