Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為，對角線AC、BD交于點O，點E在BC上，且CE=2BE，過B點作BF⊥AE于點F，連接OF，則線段OF的長度為_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先判斷出∠OBF=∠CAE，從而得出△AOG≌△BOF，即可判斷出△OFG是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理和射影定理求出BF，AF，AG，即可得出FG．

如圖，

作OG⊥OF交AE于G，
∴OA=OB,∠FOG=90°，
∵AC，BD是正方形的對角線，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOG=∠BOF，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE=∠BAC∠CAE
∴∠OBF=∠ABF∠ABD=90°∠BAE∠ABD=90°∠BAC+∠CAE∠ABD=∠CAE，
在△AOG和△BOF中，

∴△AOG≌△BOF（ASA），
∴OG=OF，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∵CE=2BE,BC=，
∴BE=，
根據(jù)勾股定理得,AE=，
在Rt△ABE中，
根據(jù)射影定理得，BF=1，AF=3，
∴AG=BF=1，
GF=AFBF=2，
∴OF=.
故答案為.