【題目】中,以為斜邊,作直角,使點(diǎn)落在內(nèi),

(1)如圖1,若, ,點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn),連接,求線段的長;

(2)如圖2,若,把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到,連接并延長交于點(diǎn),求證: ;

(3)如圖3,若,過點(diǎn)的直線交于點(diǎn),交于點(diǎn) ,且,請直接寫出線段之間的關(guān)系(不需要證明).

【答案】(1)PM=7;(2)證明見解析;(3)BP=CP

【解析】試題分析:1)根據(jù)直角三角形30度角性質(zhì)求出AB,再根據(jù)三角形中位線定理即可求出PM

2)如圖2中,在ED上截取EQ=DP,連接CQ.首先證明EQC≌△DPB,推出QC=PB,再證明QC=PC即可解決問題.

3)結(jié)論:2AD2=FB2+CF2.如圖3中,連接AFBDN.由AND∽△BNF,推出,推出,又∠ANB=DNF,推出ANB∽△DNF,從∠DFN=ABD=45°,在RtABF中利用勾股定理即可證明.

試題解析:(1)如圖1中,

∵∠ADB=90°,DBA=60°AD=,

∴∠BAD=30°,

AB=2BD,設(shè)BD=a,則AB=2a,

AB2=BD2+AD2,

(2a)2=a2+()2,

a=7

AB=AC=14,

AM=MB,PB=PC,

PM=AC=7.

(2)證明:如圖2中,在ED上截取EQ=DP,連接CQ.

AD=AE

∴∠1=2,

∵∠ADB=AEC=90°,

∴∠1+3=90°,2+4=90°,

∴∠3=4

BD=EC,

EQCDPB

CQ=BP,QCE=DBP,

∵∠CQP=3+QCE,CPQ=4+DBP,

∴∠CQP=CPQ,

CQ=PC,

PB=PC.

(3)結(jié)論:2AD2=FB2+CF2.

理由:如圖3中,連接AFBDN.

∵∠ADB=90°,DA=DB,

∴∠DBA=DAB=45°AB=AD,

∵∠AND=BNF,ADN=BFN=90°,

ANDBNF

,

,

∵∠ANB=DNF,

ANBDNF,

∴∠DFN=ABD=45°,

FEACAE=EC,

FA=FCAFE=CFE=45°,

∴∠AFC=AFB=90°

AB2=BF2+AF2,

2AD2=BF2+CF2.

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