Question

二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，如圖所示，AC=2

5

，BC=

5

，∠ACB=90°，求二次函數(shù)圖象的關(guān)系式．

Answer 1

分析：Rt△ABC中，由勾股定理易求得AB的長，利用射影定理即可得到AC²=AO•AB，從而求得AO、BO的值，進(jìn)而由OC²=OA•OB，求得OC的長，由此可得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．

解答：解：∵AC=2

5

，BC=

5

，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=5；
∵∠AOC=∠ACB=90°，∠CAO=∠BAC，△AOC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AO

AC

，
即AO=AC²÷AB=4，
∴AO=4，
∴BO=1；
∴A（-4，0），B（1，0）；
同理可證△ACO∽△CBO
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
即

4

CO

=

CO

1

；
∴CO²=4，
∴OC=2，
∴C（0，-2），
設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c（a≠0），
把A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）分別代入上式，得

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

；
∴所求二次函數(shù)圖象的關(guān)系式為y=

1

2

x2+

3

2

x-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、通過直角三角形和相似三角形的相關(guān)知識(shí)求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，是解決問題的關(guān)鍵．