Question

已知：一次函數(shù)y=-

1

2

x+2的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²-3ax-4a（a＜0）．
（1）說明：二次函數(shù)的圖象過B點(diǎn)，并求出二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，在一次函數(shù)圖象的下方，求a的取值范圍；
（3）若二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，則在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)解析式令y=0求關(guān)于x的一元二次方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可得解；
（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，再求出對稱軸與直線y=-

1

2

x+2的交點(diǎn)，然后根據(jù)頂點(diǎn)在交點(diǎn)下方列出不等式，求解即可；
（3）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線求出a的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出OA、OB、OC的長，然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似求出△AOC∽△COB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△ABC是直角三角形，所以，點(diǎn)D與C重合時滿足，再根據(jù)拋物線對稱性，令y=2，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出點(diǎn)D的另一種情況．

解答：解：（1）令y=0，則-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，則y=2，
所以，點(diǎn)B（4，0），C（0，2），
令y=0，則ax²-3ax-4a=0，
整理得x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，二次函數(shù)的圖象過B點(diǎn)，
二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（-1，0）；

（2）y=ax²-3ax-4a=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
所以，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

4

a），
當(dāng)x=

3

2

時，y=-

1

2

×

3

2

+2=

5

4

，
∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在一次函數(shù)圖象的下方，
∴-

25

4

a＜

5

4

，
解得a＞-

1

5

，
∴a的取值范圍是-

1

5

＜a＜0；

（3）存在．
理由如下：∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，
∴a×0²-3a×0-4a=2，
解得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∵點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵

OA

OC

=

OC

OB

=

1

2

，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形，此時點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，當(dāng)y=2時，-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（3，2）時，△ABD是直角三角形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，相似三角形的判定與性質(zhì)，（3）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)判斷出△ABC恰好是直角三角形是解題的關(guān)鍵．