Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）．
（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（2）將該拋物線向下平移m（m＞0）個(gè)單位，設(shè)得到的拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，若△ABC為等邊三角形．
①求m的值；
②設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得， ，解得 ，

故拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x+1

（2）

解：①將y=x2﹣2x+1向下平移m個(gè)單位得：y=x2﹣2x+1﹣m=（x﹣1）2﹣m，

令y=x2﹣2x+1﹣m=（x﹣1）2﹣m=0，

解得x=1﹣ 或x=1+ ，

可知A（1，﹣m），B（1﹣ ，0），C（1+ ，0），BC=2 ，

過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，

∵△ABC為等邊三角形，

∴BH=HC= BC，∠CAH=30°，

∴AH= ，即 =m，

由m＞0，解得m=3．

②在拋物線上存在點(diǎn)P，能使四邊形CBDP為菱形．理由如下：

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴D（1，3），

①當(dāng)DP為對(duì)角線時(shí)，顯然點(diǎn)P在點(diǎn)A位置上時(shí)，符合題意，

故此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，﹣3）；

②當(dāng)DP為邊時(shí)，要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），DP=BC=2 ，可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+2 ，

當(dāng)x=1+2 時(shí)，y=x2﹣2x+1﹣m=x2﹣2x﹣2= ﹣2（1+2 ）﹣2=11≠3，

故不存在這樣的點(diǎn)P．

綜上可得，存在使四邊形CBDP為菱形的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（1，﹣3）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0，1），利用待定系數(shù)法求解即可．（2）①先寫出平移后的函數(shù)解析式，然后得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)△ABC為等邊三角形，可得出關(guān)于m的方程，解出即可；②求出點(diǎn)D坐標(biāo)，分兩種情況進(jìn)行討論，①PD為對(duì)角線，②PD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．