【題目】已知在四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=BC.
(1)如圖1,若∠BAD=90°,AD=2,求CD的長度;
(2)如圖2,點P、Q分別在線段AD、DC上,滿足PQ=AP+CQ,求證:∠PBQ=90°∠ADC;
(3)如圖3,若點Q運動到DC的延長線上,點P也運動到DA的延長線上時,仍然滿足PQ=AP+CQ,則(2)中的結論是否成立?若成立,請給出證明過程,若不成立,請寫出∠PBQ與∠ADC的數量關系,并給出證明過程.
【答案】(1)CD=2;(2)證明見解析;(3)(2)中結論不成立,應該是:,理由見解析.
【解析】
(1)如圖1,利用HL證得兩個直角三角形全等:Rt△BAD≌Rt△BCD,則其對應邊相等:AD=DC=2;
(2)如圖2,延長DC,在上面找一點K,使得CK=AP,連接BK,通過證△BPA≌△BCK(SAS)得到:∠1=∠2,BP=BK.然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ的對應角相等求得∠PBQ=∠ABC,結合已知條件“∠ABC+∠ADC=180°”可以推知∠PBQ=90°-∠ADC;
(3)(2)中結論不成立,應該是:∠PBQ=90°+∠ADC.
如圖3,在CD延長線上找一點K,使得KC=AP,連接BK,構建全等三角形:△BPA≌△BCK(SAS),由該全等三角形的性質和全等三角形的判定定理SSS證得:△PBQ≌△BKQ,則其對應角相等:∠PBQ=∠KBQ,結合四邊形的內角和是360度可以推得:∠PBQ=90°+∠ADC.
(1)∵, ∴
在Rt△BAD和Rt△BCD中,
∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)
∴AD=DC=2 ∴DC=2
(2)如圖,延長DC,在上面找一點K,使得CK=AP,連接BK
∵
∴
∵
∴
在△BPA和△BCK中
∴△BPA≌△BCK(SAS)
∴,BP=BK
∵PQ=AP+CQ
∴PQ=QK
在△PBQ和△BKQ中
∴△PBQ≌△BKQ(SSS)
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
(3)(2)中結論不成立,應該是:
在CD延長線上找一點K,使得KC=AP,連接BK
∵
∴
∵
∴
在△BPA和△BCK中
∴△BPA≌△BCK(SAS)
∴,BP=BK
∴
∵PQ=AP+CQ
∴PQ=QK
在△PBQ和△BKQ中
∴△PBQ≌△BKQ(SSS)
∴
∴
∴
∴
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【題目】下列說法中正確的是( )
A. 已知a,b,c是三角形的三邊,則a2+b2=c2
B. 在直角三角形中,兩邊的平方和等于第三邊的平方
C. 在Rt△ABC中,∠,所以a2+b2=c2
D. 在Rt△ABC中,∠,所以a2+b2=c2
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【題目】如圖,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一點,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)證明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面積.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=6,點E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF.下列結論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正確結論的個數是( )
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【題目】如圖,A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側,分別到河的距離為AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,現在要在河邊建一自來水廠,向A、B兩鎮(zhèn)供水,鋪設水管的費用為每千米3萬,請你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設水管的費用最節(jié)省,并求出總費用是多少?
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【題目】某小商場以每件20元的價格購進一種服裝,先試銷一周,試銷期間每天的銷量(件)與每件的銷售價x(元/件)如下表:
x(元/件) | 38 | 36 | 34 | 32 | 30 | 28 | 26 |
t(件) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
假定試銷中每天的銷售量t(件)與銷售價x(元/件)之間滿足一次函數.
(1)試求t與x之間的函數關系式;
(2)在商品不積壓且不考慮其它因素的條件下,每件服裝的銷售定價為多少時,該小商場銷售這種服裝每天獲得的毛利潤最大?每天的最大毛利潤是多少?(注:每件服裝銷售的毛利潤=每件服裝的銷售價﹣每件服裝的進貨價)
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【題目】若拋物線y=ax2+bx+c如圖所示,下列四個結論: ①abc<0;②b﹣2a<0;③a﹣b+c<0;④b2﹣4ac>0.
其中正確結論的個數是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經歷了從虧損到盈利過程.下面的二次函數圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和s和t之間的關系).根據圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)由已知圖象上的三點坐標,求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數關系式;
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元;
(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上,頂點B的坐標為(3, ),點C的坐標為(,0),點P為斜邊OB上的一個動點,則PA+PC的最小值為( )
A. B. C. D. 2
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