Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，并過點(diǎn)作軸，垂足為．拋物線和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，四邊形的面積是．

求反比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式及拋物線的對(duì)稱軸；

如圖，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/05/12/08/1a8f9afd/SYS201905120854095644903087_ST/SYS201905120854095644903087_ST.023.png" width="24" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

①當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為等腰梯形；

②設(shè)與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積為，求面積關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式，并指出的取值范圍；當(dāng)為何值時(shí)，有最大值或最小值．

Answer 1

【答案】 ,①當(dāng)秒時(shí)，四邊形為等腰梯形②當(dāng)秒時(shí)，面積有最小值．

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義可求出k，從而可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式，由此可求出對(duì)稱軸方程；
（2）①過點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，如圖2，易證BC∥OA，要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如圖2，易證△MFP≌△MGQ，則有MF=MG，從而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四邊形ABPQ，并運(yùn)用割補(bǔ)法就可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式，然后只需利用該函數(shù)的增減性就可解決問題．

如圖，

∵四邊形的面積是

，

∴，

∴反比例函數(shù)的解析式為．

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

解得．

∴．

將點(diǎn)，代入，得

解得：，

∴二次函數(shù)的解析式．

則拋物線的對(duì)稱軸為；①由題意可知：．

∵點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

∴．

過點(diǎn)作，垂足為，如圖．

要使四邊形為等腰梯形，只需．

即．

又，

∴．

解得，

∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形為等腰梯形．

②設(shè)對(duì)稱軸與、軸的交點(diǎn)分別為、，如圖．

∵對(duì)稱軸是線段的垂直平分線，

∴．

又∵，

∴．

∵，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴

．

∵

，

∴

．

∵，，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，需要秒，

∴．

∵，

∴當(dāng)秒時(shí)，面積有最小值．