Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,其中∠BAC=∠EDF=90°、AB=AC=1，△DEF中的點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,設(shè)EF交AC于點(diǎn)H

（1）求證：△ABE∽△ECH；

（2）設(shè)BE= ，CH= ，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)取何值時(shí)， 有最大值，最大值是多少？

（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△ABE是等腰三角形，并求出此時(shí)CH的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析： 由等腰直角三角形的性質(zhì)可得通過角的等量代換得到至此，便可證明

由的結(jié)論，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得 結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而用含的代數(shù)式表示出，從而得到與的函數(shù)關(guān)系式；分析可知，得到的函數(shù)關(guān)系式是二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值以及的最大值；

由等腰三角形的性質(zhì)可知需要分情況進(jìn)行討論.

試題解析： 證明：因?yàn)?/span>

所以

所以

所以

（2）由（1）可知，

所以

因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，

所以

因?yàn)?/span>

所以

所以

所以

所以當(dāng)時(shí)， 有最大值，最大值 .

（3）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>

所以

所以

此時(shí)

②當(dāng)時(shí)， 此時(shí)

綜上可知，當(dāng)或時(shí)， 是等腰三角形，

的長(zhǎng)為或