Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx﹣4經(jīng)過A（﹣8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，直線x=﹣4交x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)E在直線x=﹣4上，若以A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若B，D，C三點(diǎn)到同一條直線的距離分別是d₁，d₂，d₃，問是否存在直線l，使？若存在，請直接寫出d₃的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4經(jīng)過A（﹣8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為。
（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)E在直線x=﹣4上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，n），
如圖1，∵點(diǎn)A（﹣8，0），∴AO=8。

①當(dāng)AO為一邊時，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=﹣12，m₂=4。
∴P₁（﹣12，14），P₂（4，6）。
②當(dāng)AO為對角線時，則點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，故CE=CP。
∴，解得：。
∴P₃（﹣4，﹣6）。
綜上所述，當(dāng)P₁（﹣12，14），P₂（4，6），P₃（﹣4，﹣6）時，A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形。
（3）存在4條符合條件的直線。d₃的值為。

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類討論：
①以AO為一邊的平行四邊形，有2個；
②以AO為對角線的平行四邊形，有1個，此時點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱。
（3）存在4條符合條件的直線。
如圖2所示，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，

由題意得C（﹣4，0），B（2，0），D（﹣4，﹣6），
∴OC=4，OB=2，CD=6。∴△CDB為等腰直角三角形。
∴CH=CD•sin45°=6×=。
∵BD=2CH，∴BD=。
①∵CO：OB=2：1，
∴過點(diǎn)O且平行于BD的直線l₁滿足條件。
作BE⊥直線l₁于點(diǎn)E，DF⊥直線l₁于點(diǎn)F，設(shè)CH交直線l₁于點(diǎn)G，
∴BE=DF，即：d₁=d₂。
則，即，∴d₃=2d₁，∴。
∴CG=CH，即d₃=。
②如圖2，在△CDB外作直線l₂∥DB，延長CH交l₂于點(diǎn)G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=。
③如圖3，過H，O作直線l₃，作BE⊥l₃于點(diǎn)E，DF⊥l₃于點(diǎn)F，CG⊥l₃于點(diǎn)G，

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴。
作HI⊥x軸于點(diǎn)I，
∴HI=CI=CB=3，∴OI=4﹣3=1。
∴。
∵△OCH的面積=×4×3=×d₃，∴d₃=。
④如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的對稱性，可作出直線l₄，易證：
，d₃=。
綜上所述，存在直線l，使．d3的值為：。