Question

在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．

（1）寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AD、DE和DB，當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。
[提示：如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A，那么它的表達(dá)式可表示為：]

Answer 1

解：（1）對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=2。
（2）∵A（1，0）、B（3，0），∴設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。
當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，當(dāng)x=2時(shí)，y=。
∴C（0，3a），D(2,－a)，∴OC=|3a|。
∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|。
在△AOC與△DEB中，
∵∠AOC=∠DEB=90°，∴當(dāng)時(shí)，△AOC∽△DEB。
∴時(shí)，解得或。
當(dāng)時(shí)，△AOC∽△BED，
∴時(shí)，此方程無(wú)解。
綜上所述，所求二次函數(shù)的表達(dá)式為：或，即
或。

（1）由拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性可知，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，易求出對(duì)稱(chēng)軸。
（2）由提示中可以設(shè)出函數(shù)的解析式，將頂點(diǎn)D與E的坐標(biāo)表示出來(lái)，從而將兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，而相似的確定過(guò)程中充分考慮到分類(lèi)即可解決此題。