Question

【題目】（1）如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和 軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在 軸的負(fù)半軸、 軸的正半軸上，且AD＝2，AB＝3.

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如圖1，將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從所示的位置沿 軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）.

①直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)。(用含t的代數(shù)式表示）

②當(dāng)t為多少時(shí)，P、N兩點(diǎn)重合？

③設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）①點(diǎn)P（t，t），②t=0或3時(shí)PN兩點(diǎn)重合；③S存在最大值 。

【解析】

（1）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，又拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，用待定系數(shù)可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）①因?yàn)榫匦魏蛣?dòng)點(diǎn)P都以相同的速度勻速移動(dòng)，所以AO=AP=t，則點(diǎn)P（t，t）；

②P、N兩點(diǎn)重合，點(diǎn)N橫坐標(biāo)是t，點(diǎn)N又在拋物線上，點(diǎn)N坐標(biāo)是（t，-t2+4t），由①知，即-t2+4t=t，可求得t的值；

③當(dāng)P，N重合時(shí)，多邊形為三角形，高為AD，S=3；當(dāng)P,N不重合時(shí)，S=梯形CDPN的面積,利用梯形面積公式構(gòu)造二次函數(shù)，用求函數(shù)最值的方法解決問題.

（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2+4

∵拋物線過原點(diǎn)

∴4a+4=0

解之：a=-1

∴y=-（x-2）2+4=-x2+4x；

（2）解： ①∵矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從所示的位置沿 軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，

∴AO=AP=t，

∴點(diǎn)P（t，t）

②P、N兩點(diǎn)重合，點(diǎn)N橫坐標(biāo)是t，點(diǎn)N又在拋物線上，點(diǎn)N坐標(biāo)是（t，-t2+4t），由①知，即-t2+4t=t， ∴t=0或3時(shí)PN兩點(diǎn)重合。

③當(dāng)P，N重合時(shí)，多邊形為三角形，高為AD，S=3；

當(dāng)P,N不重合時(shí)，PN∥CD，AD⊥CD, S=梯形CDPN的面積=

∴S=﹣t2+4t-t+3=-(t- )2+

∵0＜t＜3 ∴t= 時(shí)，S 最大=

綜上所述：S存在最大值 .