【題目】已知點A,B分別是x軸、y軸上的動點,點C,D是某個函數(shù)圖象上的點,當四邊形ABCD(A,B,C,D各點依次排列)為正方形時,我們稱這個正方形為此函數(shù)圖象的“伴侶正方形”.
例如:在圖1中,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個“伴侶正方形”.
(1)如圖1,若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長;
(2)如圖2,若某函數(shù)是反比例函數(shù) (k>0),它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD,點D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)的解析式;
(3)如圖3,若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD,C,D中的一個點坐標為(3,4),請你直接寫出該二次函數(shù)的解析式.
【答案】
(1)解:(I)當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時:
正方形ABCD的邊長為 .
(II)當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時:
設(shè)正方形邊長為a,易得3a= ,
解得a= ,此時正方形的邊長為 .
∴所求“伴侶正方形”的邊長為 或
(2)解:如圖,作DE⊥x軸,CF⊥y軸,垂足分別為點E、F,
易證△ADE≌△BAO≌△CBF.
∵點D的坐標為(2,m),m<2,
∴DE=OA=BF=m,
∴OB=AE=CF=2﹣m.
∴OF=BF+OB=2,
∴點C的坐標為(2﹣m,2).
∴2m=2(2﹣m),解得m=1.
∴反比例函數(shù)的解析式為y=
(3)解:實際情況是拋物線開口向上的兩種情況中,另一個點都在(3,4)的左側(cè),而開口向下時,另一點都在(3,4)的右側(cè),與上述解析明顯不符合
a、當點A在x軸正半軸上,點B在y軸正半軸上,點C坐標為(3,4)時:另外一個頂點為(4,1),對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ;
b、當點A在x 軸正半軸上,點 B在 y軸正半軸上,點D 坐標為(3,4)時:不存在,
c、當點A 在 x 軸正半軸上,點 B在 y軸負半軸上,點C 坐標為(3,4)時:不存在
d、當點A在x 軸正半軸上,點B在y軸負半軸上,點D坐標為(3,4)時:另外一個頂點C為(﹣1,3),對應(yīng)的函數(shù)的解析式是y= x2+ ;
e、當點A在x軸負半軸上,點B在y軸負半軸上,點C坐標為(3,4)時,另一個頂點D的坐標是(7,﹣3)時,對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=﹣ x2+ ;
f、當點A在x軸負半軸上,點B在y軸負半軸上,點C坐標為(3,4)時,另一個頂點D的坐標是(﹣4,7)時,對應(yīng)的拋物線為y= x2+ ;
故二次函數(shù)的解析式分別為:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+
【解析】(1)先正確地畫出圖形,再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點的坐標從而計算正方形的邊長.
(2)因為ABCD為正方形,所以可作垂線得到等腰直角三角形,利用點D(2,m)的坐標表示出點C的坐標,可求出m的值 ,即可得到反比例函數(shù)的解析式.
(3)由拋物線開口既可能向上,也可能向下.當拋物線開口向上時,正方形的另一個頂點也是在拋物線上,這個點既可能在點(3,4)的左邊,也可能在點(3,4)的右邊,過點(3,4)向x軸作垂線,利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標;當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論,即可得到所求的結(jié)論.
【考點精析】通過靈活運用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì),掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線.反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.有兩條對稱軸:直線y=x和 y=-x.對稱中心是:原點;性質(zhì):當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減; 當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中∠BAC=135°,點E,點F在BC上,EM垂直平分AB交AB于點M,FN垂直平分AC交AC于點N,BE=12,CF=9.
(1)判斷△EAF的形狀,并說明理由;
(2)求△EAF的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=60°,∠AOB的邊OA上有一動點P,從距離O點18cm的點M處出發(fā),沿線段MO、射線OB運動,速度為2cm/s;動點Q從點O出發(fā),沿射線OB運動,速度為lcm/s;P、Q同時出發(fā),同時射線OC繞著點O從OA上以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)運動時間是t(s).
(1)當點P在MO上運動時,PO=______cm(用含t的代數(shù)式表示);
(2)當點P在線段MO上運動時,t為何值時,OP=OQ?此時射線OC是∠AOB的角平分線嗎?如果是請說明理由.
(3)在射線OB上是否存在P、Q相距2cm?若存在,請求出t的值并求出此時∠BOC的度數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.
數(shù)學(xué)活動課上,老師準備了若干個如圖1的三種紙片,A種紙片邊長為a的正方形,B種紙片是邊長為b的正方形,C種紙片長為a、寬為b的長方形,并用A種紙片一張,B種紙片一張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.
(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.方法1:______;方法2:_______.
(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系._______;
(3)類似的,請你用圖1中的三種紙片拼一個使長方形面積為:3a2+7ab+2b2,并對3a2+7ab+2b2因式分解為_______.
(4)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34,求(x﹣2017)2的值.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,E為AB的中點,連接CE,BD,過點E作FE⊥CE于點E,交AD于點F,連接CF,已知2AD=AB=BC.
(1)求證:CE=BD;
(2)若AB=4,求AF的長度;
(3)求sin∠EFC的值.
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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABC的三個頂點的位置如圖所示.現(xiàn)將△ABC沿著點A到點D的方向平移,使點A變換為點D,點E、F分別是B、C的對應(yīng)點.
(1)畫出△ABC中AB邊上的高CH;(提醒:別忘了標注字母);
(2)請畫出平移后的△DEF;
(3)平移后,線段AB掃過的部分所組成的封閉圖形的面積是___________.
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【題目】某公司欲招聘一名部門經(jīng)理,對甲、乙、丙三名候選人進行了三項素質(zhì)測試.各項測試成績?nèi)绫砀袼荆?/span>
測試項目 | 測試成績 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
專業(yè)知識 | 74 | 87 | 90 |
語言能力 | 58 | 74 | 70 |
綜合素質(zhì) | 87 | 43 | 50 |
(1)如果根據(jù)三次測試的平均成績確定人選,那么誰將被錄用?
(2)根據(jù)實際需要,公司將專業(yè)知識、語言能力和綜合素質(zhì)三項測試得分按4:3:1的比例確定每個人的測試總成績,此時誰將被錄用?
(3)請重新設(shè)計專業(yè)知識、語言能力和綜合素質(zhì)三項測試得分的比例來確定每個人的測試總成績,使得乙被錄用,若重新設(shè)計的比例為x:y:1,且x+y+1=10,則x= ,y= .(寫出x與y的一組整數(shù)值即可).
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【題目】某公司為獎勵在趣味運動會上取得好成績的員工,計劃購買甲、乙兩種獎品共20件.其中甲種獎品每件40元,乙種獎品每件30元
(1)如果購買甲、乙兩種獎品共花費了650元,求甲、乙兩種獎品各購買了多少件?
(2)如果購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍,總花費不超過680元,求該公司有哪幾種不同的購買方案?
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