Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，點D是BC邊的中點．點P從點B出發(fā)，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點A運動；點Q同時以1cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)它們運動的時間為ts．
(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
(2)設(shè)點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．
①若a＝，求PQ的長；
②是否存在實數(shù)a，使得點P在∠ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明
理由．

Answer 1

解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，∴BD=CD=BC=6。
∵a=2，∴BP=2t，DQ=t�！郆Q=BD－QD=6－t。
∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：。
（2）①過點P作PE⊥BC于E，

∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。
∴PB：AB=CM：AC。
∵AB=AC，∴PB=CM�！郟B=PQ。
∴BE=BQ=（6－t）。
∵a=，∴PB=t。
∵AD⊥BC，∴PE∥AD�！郟B：AB=BE：BD，即。
解得，t=。
∴PQ=PB=t=（cm）。
②不存在．理由如下：

∵四邊形PQCM為平行四邊形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。
∴PB：AB=CM：AC。
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。
若點P在∠ACB的平分線上，則∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM�！唷螩PM=∠PCM。
∴PM=CM�！嗨倪呅蜳QCM是菱形�！郟Q=CQ。
∴PB=CQ。
∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且 at=6+t①。
∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴，化簡得：6at+5t=30②。
把①代入②得，t=。
∴不存在實數(shù)a，使得點P在∠ACB的平分線上。

等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，反證法。
【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，
即可求得BD與CD的長，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得t的值。
（2）①首先過點P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行
線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。
②用反證法，假設(shè)存在點P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負(fù)，故可得不存在。