Question

如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點， PO的延長線交BC于Q.
（1）求證：△ P O D ≌ △Q O B ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合）.設點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形P B Q D是菱形．

Answer 1

（1）證明：四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，                         
∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB                             
（2）解法一： PD=8-t  
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.               
當四邊形PBQD是菱形時， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，
∴△ODP∽△ADB，                                     
∴，即，                                    
解得,即運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形.               
解法二：PD=8-t     
當四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=(8-t)cm，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，
∴， ∴，
解得,即運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形.  

（1）本題需先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據(jù)O為BD的中點得出△POD≌△QOB．
（2）本題需先根據(jù)已知條件得出∠A的度數(shù)，再根據(jù)AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的長，再根據(jù)四邊形PBQD是菱形時，證出△ODP∽△ADB，即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形