Question

【題目】（1）已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長BC至E．求證：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．

（2）依已知條件和（1）中的結(jié)論：

①如圖2，若點(diǎn)C在⊙O外，且A、C兩點(diǎn)分別在直線BD的兩側(cè)．試確定∠A+∠BCD與180°的大小關(guān)系；

②如圖3，若點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，且A、C兩點(diǎn)分別在直線BD的兩側(cè)．試確定∠A+∠BCD與180°的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①∠A+∠BCD＜180°，②∠A+∠BCD＞180°.

【解析】

（1）連接AC，BD，由同弧所對的圓周角相等與四邊形的內(nèi)角和為360°，即可證得∠A+∠BCD=180°；又由同角的補(bǔ)角相等，求得∠DCE=∠A；
（2）根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)與三角形的外角的性質(zhì)，即可證得結(jié)論．

（1）證明：連結(jié)AC，BD，

∴∠CAD=∠CBD，∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，

∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，

∴∠CAD+∠BAC+∠ABD+∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠ADB+∠BDC=360°，

∴∠CAD+∠BAC+∠ACB+∠ACD=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°，

又∵∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠DCE=∠BAD.

（2）解：①設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)E，連結(jié)DE，

∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BED=180°，

又∵∠BED=∠CDE+∠BCD,

∴∠BED＞∠BCD，

∴∠A+∠BCD＜180°.

②延長DC交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE，

∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BED=180°，

又∵∠BCD=∠CBE+∠BED,

∴∠BCD＞∠BED，

∴∠A+∠BCD＞180°.