Question

【題目】（2017廣東省廣州市，第24題，14分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)圖形為△CED．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）連接AE，若AB=6cm，BC=cm．

①求sin∠EAD的值；

②若點(diǎn)P為線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OP，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線(xiàn)段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以1.5cm/s的速度沿線(xiàn)段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②AP的長(zhǎng)為，點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間為3s．

【解析】

（1）只要證明四邊相等即可證明；

（2）①設(shè)AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出==，由AB=CD=6，可得DK=2，CK=4，在Rt△ADK中，可以求出AK的長(zhǎng)，根據(jù)sin∠DAE=計(jì)算即可解決問(wèn)題；

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=AP，因?yàn)辄c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t==OP+AP=OP+PF，所以當(dāng)O、P、F共線(xiàn)時(shí)，OP+PF的值最小，此時(shí)OF是△ACD的中位線(xiàn)，由此即可解決問(wèn)題．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD=OB=OC=OA，

∵△EDC和△ODC關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，

∴DE=DO，CE=CO，

∴DE=EC=CO=OD，

∴四邊形CODE是菱形．

（2）①設(shè)AE交CD于K．

∵四邊形CODE是菱形，

∴DE∥AC，DE=OC=OA，

∴==．

∵AB=CD=6，

∴DK=2，CK=4，

在Rt△ADK中，AK= = =3，

∴sin∠DAE==；

②作PF⊥AD于F．易知PF=APsin∠DAE=AP，

∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t==OP+AP=OP+PF，

∴當(dāng)O、P、F共線(xiàn)時(shí)，OP+PF的值最小，此時(shí)OF是△ACD的中位線(xiàn)，

∴OF=CD=3．AF=AD=，PF=DK=1，

∴AP= =，

∴當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí)，AP的長(zhǎng)為，點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間為3s．