【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2﹣x+3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),交y軸于點C,點D的坐標(biāo)為(0,﹣1),直線AD交拋物線于另一點E,點P是第二象限拋物線上的一點,作PQ∥y軸交直線AE于Q,作PG⊥AD于G,交x軸于點H
(1)求線段DE的長;
(2)設(shè)d=PQ﹣PH,當(dāng)d的值最大時,在直線AD上找一點K,使PK+EK的值最小,求出點K的坐標(biāo)和PK+EK的最小值;
(3)如圖2,當(dāng)d的值最大時,在x軸上取一點N,連接PN,QN,將△PNQ沿著PN翻折,點Q的對應(yīng)點為Q′,在x軸上是否存在點N,使△AQQ′是等腰三角形?若存在,求出點N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1)8.(2)K(﹣2,﹣3),最小值為8.(3)滿足條件的點N坐標(biāo)為(6﹣5,0)或(,0)或(﹣3,0)或(﹣6﹣5,0).
【解析】
試題分析:(1)先求出點A坐標(biāo),求出直線AD的解析式,利用方程組求出點E坐標(biāo),利用兩點間距離公式即可解決問題.
(2)構(gòu)建二次函數(shù),求出d最大時點P坐標(biāo),作EM⊥PQ交PQ的延長線于M,作KN⊥EM于N.只要證明PM就是PK+EK的最小值即可解決問題.
(3)分四種情形①如圖2中,當(dāng)Q′Q=AQ′時,∠Q′PQ=∠Q′PA=30°,∠NPE=∠NPQ′=15°,連接PA,在PF上取一點E,使得PE=EN.設(shè)FN=x,則PE=EN=2x,EF=x,列出方程求解即可.②如圖3中,當(dāng)N與A重合時△AQQ′是等腰三角形.此時N(,0).③如圖4中,當(dāng)N與B重合時,△AQQ′是等腰三角形,此時N(﹣3,0).④如圖5中,當(dāng)Q′Q=Q′A,易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°,在FN上取一點E,使得PE=BE.在Rt△PEF中解直角三角形即可解決問題.
試題解析:(1)對于拋物線y=﹣x2﹣x+3,
令y=0,得﹣x2﹣x+3=0,解得x=﹣3或,∴A(,0),B(﹣3,0),
∵D(0,﹣1),
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,則有解得,
∴直線AD的解析式為y=x﹣1.
由解得或,∴點E坐標(biāo)為(﹣4,﹣5),
∴DE==8.
(2)如圖1中,設(shè)P(m,﹣ m2﹣x+3)則Q(m, m﹣1).
∵tan∠OAD==,∴∠OAD=30°,∵PG⊥AE,∴∠AGH=90°,∴∠AHG=∠PHF=60°,
∴PH=,
∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×(﹣m2﹣m+3)=﹣(m+2)2+,
∵﹣<0,
∴m=﹣2時,d的值最大,P(﹣2,3),
作EM⊥PQ交PQ的延長線于M,作KN⊥EM于N.
∵∠AEM=∠OAD=30°,
∴KN=EK,QM=EQ,
∴PK+EK=PK+KN≤PM,
∴當(dāng)K與Q重合時,PK+EK的值最小,
此時K(﹣2,﹣3),最小值為8.
(3)①如圖2中,連接PA,在PF上取一點E,使得PE=EN.
∵PF=3,AF=3,∴tan∠AFP=,∴∠PAF=30°,∠PAQ=60°,∵PF=FQ,AF⊥PQ,
∴AP=AQ,∴△PAQ是等邊三角形,當(dāng)Q′Q=AQ′時,∠Q′PQ=∠Q′PA=30°,∠NPE=∠NPQ′=15°,
∴∠NEF=30°,設(shè)FN=x,則PE=EN=2x,EF=x,∵PF=3,∴2x+x=3,∴x=6﹣3,
∴OF=2﹣6+3=5﹣6,∴N(6﹣5,0).
②如圖3中,當(dāng)N與A重合時△AQQ′是等腰三角形.此時N(,0).
③如圖4中,當(dāng)N與B重合時,△AQQ′是等腰三角形,此時N(﹣3,0).
④如圖5中,當(dāng)Q′Q=Q′A,易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°,在FN上取一點E,使得PE=BE.
在Rt△PEF中,∵PF=3,∠PEF=30°,∴PE=NE=2PF=6,EF=PF=3,
∴ON=6+5,∴N(﹣6﹣5,0).
綜上所述,滿足條件的點N坐標(biāo)為(6﹣5,0)或(,0)或(﹣3,0)或(﹣6﹣5,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在解決關(guān)于x,y的二元一次方程組 時,小明由于粗心,把c寫錯解得 ,小紅正確地解得 ,求a2b﹣ab2﹣c的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 延長線段AB與延長線段BA表示同一種含義
B. 延長線段AB到C,使得AC=BC
C. 延長線段AB與反向延長線段BA表示同一種含義
D. 反向延長線段AB到C,使AC=BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長為( 。
A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面四個整式中,不能表示圖中陰影部分面積的是( )
A.(x+3)(x+2)﹣2x
B.x(x+3)+6
C.3(x+2)+x2
D.x2+5x
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算:
(1)﹣9+(+ )﹣(﹣12)+(﹣5)+(﹣ )
(2)(1﹣1 ﹣ + )×(﹣24)
(3)﹣ + ÷(﹣2)×(﹣ )
(4)﹣14﹣(1﹣ )÷3×|3﹣(﹣3)2|
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別以Rt△ABC的邊為一邊向外作正方形,已知AB=2,BC=1.
(1)求圖中以AC為一邊的正方形的面積;
(2)AC的長是不是無理數(shù)?若是無理數(shù),請求出它的整數(shù)部分?
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