【題目】已知:如圖一,拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x-2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),且AB=2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移,且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E,D,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng),(如圖2);當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí),直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng),連DP,若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒;設(shè)s=,當(dāng)t為何值時(shí),s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的條件下,是否存在t的值,使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y="-1/4" x2+3/2 x-2(2)1(3)當(dāng)t="2" /3 或t="10/" 7 時(shí),以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,證明見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)首先根據(jù)直線AC的解析式確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo),已知AB的長(zhǎng),進(jìn)一步能得到點(diǎn)B的坐標(biāo);然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式;(2)根據(jù)所給的s表達(dá)式,要解答該題就必須知道ED、OP的長(zhǎng);BP、CE長(zhǎng)由計(jì)算可知,那么由OP=OB﹣BP求得OP長(zhǎng),由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長(zhǎng),再代入s的表達(dá)式中可得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到s的最小值;(3)首先求出BP、BD的長(zhǎng),若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,已知的條件是公共角∠OBC,那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例,分兩種情況討論即可.
試題解析:(1)由直線:y=x﹣2知:A(2,0)、C(0,﹣2);∵AB=2,∴OB=OA+AB=4,即B(4,0).設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣2)(x﹣4),代入C(0,﹣2),得:a(0﹣2)(0﹣4)=﹣2,解得 a=﹣,∴拋物線的解析式:y=﹣(x﹣2)(x﹣4)=﹣x2+x﹣2;(2)在Rt△OBC中,OB=4,OC=2,則tan∠OCB=2;∵CE=t,∴DE=2t,而OP=OB﹣BP=4﹣2t;
∴s===(0<t<2),∴當(dāng)t=1時(shí),s有最小值,且最小值為1.
(3)在Rt△OBC中,OB=4,OC=2,則BC=2;在Rt△CED中,CE=t,ED=2t,則CD=t;
∴BD=BC﹣CD=2﹣t;若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,已知∠OBC=∠PBD,則有兩種情況:①=,解得 t=;②=,解得 t=;綜上所述,當(dāng)t=或時(shí),以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a,b,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,=10,a+b=80,ab<0.
(1)求出a,b的值;
(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)A出發(fā),以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q從點(diǎn)B出發(fā),以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相遇?相遇的點(diǎn)表示的數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小慧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y=|x﹣1|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小慧的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完成:
(1)函數(shù)y=|x﹣1|的自變量x的取值范圍是 ;
(2)列表,找出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | b | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
其中,b= ;
(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),并畫(huà)出該函數(shù)的圖象;
(4)寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式。
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠B=90°,tan∠BAC=,半徑為2的⊙O從點(diǎn)A開(kāi)始(圖1),沿AB向右滾動(dòng),滾動(dòng)時(shí)始終與AB相切(切點(diǎn)為D);當(dāng)圓心O落在AC上時(shí)滾動(dòng)停止,此時(shí)⊙O與BC相切于點(diǎn)E(圖2).作OG⊥AC于點(diǎn)G.
(1)利用圖2,求cos∠BAC的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)(如圖1),求OG;
(3)如圖3,在⊙O滾動(dòng)過(guò)程中,設(shè)AD=x,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示OG,并寫(xiě)出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】①若,則;②整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);③絕對(duì)值等于它本身的整數(shù)是0;④是二次三項(xiàng)式;⑤幾個(gè)有理數(shù)相乘,當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),積一定為負(fù)數(shù),其中判斷正確的有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的兩邊分別與射線CB,DC相交于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠EAF=60°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí),直接寫(xiě)出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B、C重合),求證:BE=CF;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且∠EAB=15°時(shí),求點(diǎn)F到BC的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、 F分別為邊AB、CD的中點(diǎn),BD是對(duì)角線.過(guò)點(diǎn)有作AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若∠G=90° ,求證:四邊形DEBF是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】貨輪上卸下若干只箱子,其總重量為10t,每只箱子的重量不超過(guò)1t,為保證能把這些箱子一次運(yùn)走,問(wèn)至少需要多少輛載重3t的汽車(chē)?
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