【題目】某同學(xué)在研究二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問題時(shí),發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論:
①拋物線 y = ax 2 2x + 3(a ≠0) ,不論 a 為何值時(shí),它的頂點(diǎn)都在某條直線上;
②拋物線 y = ax 2 2x + 3(a ≠0),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增加得到A點(diǎn),若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加,得到B點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上.
(1)請(qǐng)你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點(diǎn)所在直線的解析式,并證明結(jié)論②是正確的;
(2)問題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn),你能找出它來嗎,并說明理由;
(3)你能把結(jié)論①或②(選擇其中之一)推廣到一般情況嗎,請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言表述你的成 果,并給予嚴(yán)格的證明.
【答案】(1),證明見解析;(2)(0,3),理由見解析;(3)①的推廣:若b、c是常數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)在直線上;②的推廣:拋物線,將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上;證明見解析.
【解析】
(1)首先將拋物線y=ax2+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,寫出用a表示的頂點(diǎn)坐標(biāo),消去a寫出y關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)觀察(1)中的頂點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)?/span>,即橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),即可求得結(jié)果;
(3)首先寫出拋物線的一般形式,再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加
代入一般式,驗(yàn)證縱坐標(biāo)也增加.
解:(1)方法一:
當(dāng)時(shí),的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),
當(dāng)時(shí),的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上,
將(1,2),(1,4)代入,得:
,解得:,
所以,
即拋物線的頂點(diǎn)在直線;
方法二:
易知的頂點(diǎn)是,
即,,
消去a得:,
即拋物線的頂點(diǎn)在直線;
證明:拋物線的頂點(diǎn)是,
由題意得:A(0,3),B(,3),
當(dāng)x=0時(shí),y=3,則點(diǎn)A在拋物線上,
當(dāng)x=時(shí),,則點(diǎn)B拋物線上,
(2)直線上有一點(diǎn)(0,3)不是該拋物線的頂點(diǎn),
拋物線的頂點(diǎn)是,
當(dāng)時(shí),橫坐標(biāo),即(0,3)不是拋物線的頂點(diǎn);
(3)①的推廣
若b、c是常數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)在直線上.
當(dāng)時(shí),則的頂點(diǎn)為,
當(dāng)時(shí),則的頂點(diǎn)為,
將它們代入得:
,
解得:
則直線為,
事實(shí)上,時(shí),
,
即拋物線頂點(diǎn)在直線上;
②的推廣
猜想:拋物線y = ax 2 2x + 3(a ≠0) ,將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上.
證明:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,
將其橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,得到
,
將代入得
=
=
∴點(diǎn)A在拋物線上,同理可證點(diǎn)B也在拋物線上.
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(2)該玩具店共購進(jìn)了兩類玩具共個(gè),若玩具店將每個(gè)類玩具定價(jià)為元出售,每個(gè)類玩具定價(jià)元出售,且全部售出后所獲得的利潤不少于元,則該淘寶專賣店至少購進(jìn)類玩具多少個(gè)?
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(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若跳跳家的汽車油箱中的油量低于5升時(shí),儀表盤會(huì)亮起黃燈警報(bào). 要使郵箱中的存油量不低于5升,跳跳爸爸至多能夠行駛多少千米就要進(jìn)加油站加油?
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(1)如圖1,當(dāng)∠ABC=90°時(shí),△OEF的形狀是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ABC=60°時(shí),請(qǐng)判斷△OEF的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將∠MON的頂點(diǎn)移到AO的中點(diǎn)O′處,∠MO′N繞點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°,射線O′M交直線BC于點(diǎn)E,射線O′N交直線CD于點(diǎn)F,當(dāng)BC=4,且時(shí),直接寫出線段CE的長.
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(2)若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
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