【題目】如圖1,平面直角坐標系xOy中,若A0,4)、B10)且以AB為直角邊作等腰RtABC,∠CAB90°,ABAC

1)如圖1,求C點坐標;

2)如圖2,在圖1中過C點作CDx軸于D,連接AD,求∠ADC的度數(shù);

3)如圖3,點Ay軸上運動,以OA為直角邊作等腰RtOAE,連接EC,交y軸于F,試問A點在運動過程中SAOBSAEF的值是否會發(fā)生變化?如果沒有變化,請說明理由.

【答案】(1)C4,5);(245°;(3A點在運動過程中SAOBSAEF的值不會發(fā)生變化,理由見解析

【解析】

1)先判斷△AOB≌△CGA,求出CEOA4,AGOB1,即可得出結論;

2)由(1)知C45),可求出OD4,進而OAOD,得出∠OAD45°,最后用平行線的性質即可得出結論;

3)先判斷點Ey軸的左側,再分點Ay軸正半軸和負半軸上,同(1)的方法求出點C坐標,用待定系數(shù)法求出直線CE的解析式,進而求出點F的坐標,即可得出結論.

1)如圖

A0,4)、B10),

OA4,OB1,過點CCGy軸于G,

∴∠AGC90°=∠BOA

∴∠OAB+OBA90°

∵∠CAB90°,

∴∠OAB+GAC90°,

∴∠OBA=∠GAC

ABAC,

∴△AOB≌△CGAAAS),

CGOA4,AGOB1,

OGOA+AG5,

C4,5);

2)由(1)知,OA4,點C4,5),

CDx軸,

∴點D4,0),

OD4,

OAOD

OAD45°,

CDx軸,

CDy軸,

∴∠ADC=∠OAD45°;

3A點在運動過程中SAOBSAEF的值不會發(fā)生變化,

理由:設點A的坐標為(0a),

當點Ay軸正半軸上時,連接CEy軸于F,

∴點CEy軸的兩側,即點Ey軸左側,

同(1)的方法得,Ca,a+1),

∵△OAE是等腰直角三角形,

AEOA,

E(﹣aa),

∴直線CE的解析式為yx+a+,

F0,a+),

AFa+-a,

OB1

===2;

當點Ay軸負半軸上時,同的方法得,C(﹣aa1),Eaa),

∴直線CE的解析式為yx+a-

F0,a-),

AF,

∴∴===2;

A點在運動過程中SAOBSAEF的值不會發(fā)生變化.

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