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【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,連接AC,AD=2CD,點E在AD邊上.

(1)如圖1,若ECD=30°,CE=4,求AEC的面積;

(2)如圖2,延長BA至點F使得AF=2CD,連接FE并延長交CD于點G,過點D作DHEG于點H,連接AH,求證:FH=AH+DH;

(3)如圖3,將線段AE繞點A旋轉一定的角度α(0°α360°)得到線段AE′,連接CE′,點N始終為CE′的中點,連接DN,已知CD=AE=4,直接寫出DN的取值范圍.

【答案】(1)12﹣2;(2)證明見解析(3)2DN2

【解析】

試題分析:(1)根據30°的直角三角形求CD和ED,再利用面積公式求AEC的面積;

(2)作輔助線,構建全等三角形,證明AFM≌△ADH,得AM=AH,FM=DH,則MAH是等腰直角三角形,有MH=AH,根據線段的和代入得結論;

(3)根據將線段AE繞點A旋轉一定的角度α(0°α30°)得到線段AE′,先計算當AE旋轉時DN的最小值和最大值,當α=0°時,DN最小;當α=180°時,DN最大,分別計算,寫出結論.

試題解析:(1)在RtEDC中,∵∠EDC=30°,

ED=EC=×4=2,cos30°=,

DC=ECcos30°=4×=2

AE=2DC﹣ED=4﹣2,

=×AE×DC=(4﹣2)×2=12﹣2;

(2)過A作AMAH,交FG于M,

∴∠MAH=MAD+DAH=90°,

∵∠FAD=MAD+FAM=90°,

∴∠FAM=DAH,

AFCD,

∴∠F=FGD

DHEG,

∴∠DHE=HDG+FGD=90°,

EDG=EDH+HDG=90°,

∴∠FGD=EDH,

∴∠F=EDH,

AF=2CD,AD=2CD,

AF=AD,

∴△AFM≌△ADH,

AM=AH,FM=DH,

∴△MAH是等腰直角三角形,

MH=AH,

FH=MH+FM,

FH=AH+DH;

(3)線段AE繞點A旋轉一定的角度α(0°α306°)得到線段AE′,

E′的運動軌跡是一個以點A為圓心半徑為4的圓,

當α=0°時,點E′在AD中點,如圖3,

四邊形ABCD為矩形,CD=AE=4,AD=2CD,

∴∠CDE′=90°,DE′=CD=4,

∴△CDE′是等腰三角形,

N是CE′的中點,

CE′DN,

此時DN的值最小為2;

當α=180°時,E′在AD的延長線上,DN最長,

過N作CD垂線交CD于點M,

DE′=AE′+AD=12,CD=4,

MNDC,DE′DC,

MNDE′,

∴△CDE′∽△CMN,

=,

MN=6,

則CM=DM=2,

在RtDMN中,DN==2

α360°

2DN2

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