【題目】(1)某學校“智慧方園”數(shù)學社團遇到這樣一個題目:
如圖1,在△ABC中,點O在線段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的長.
經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn),過點B作BD∥AC,交AO的延長線于點D,通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題(如圖2).
請回答:∠ADB= °,AB= .
(2)請參考以上解決思路,解決問題:
如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的長.
【答案】(1)75;4;(2)CD=4.
【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75°,結(jié)合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值,進而可得出AD的值,由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角對等邊可得出AB=AD=4,此題得解;
(2)過點B作BE∥AD交AC于點E,同(1)可得出AE=4,在Rt△AEB中,利用勾股定理可求出BE的長度,再在Rt△CAD中,利用勾股定理可求出DC的長,此題得解.
(1)∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴.
又∵AO=3,
∴OD=AO=,
∴AD=AO+OD=4.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=4.
(2)過點B作BE∥AD交AC于點E,如圖所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴.
∵BO:OD=1:3,
∴.
∵AO=3,
∴EO=,
∴AE=4.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(4)2+BE2=(2BE)2,
解得:BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,
解得:CD=4.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,OD⊥AB,與AC交于點E,∠D=2∠A.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)求證:DE=DC;
(3)若OD=5,CD=3,求AC的長.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,已知AB=AC,延長CD至點E,使CE=BD,連結(jié)AE.
(1)求證:AD平分∠BDE;
(2)若AB∥CD,求證:AE是⊙O的切線.
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【題目】在抗擊新冠肺炎疫情期間,老百姓越來越依賴電商渠道獲取必要的生活資料.小石經(jīng)營的水果店也適時加入了某電商平臺,并對銷售的水果中的部分(如下表)進行促銷:參與促銷的水果免配送費且一次購買水果的總價滿128元減元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,小石會得到支付款的80%.
參與促銷水果 | |
水果 | 促銷前單價 |
蘋果 | 58元/箱 |
耙耙柑 | 70元/箱 |
車厘子 | 100元/箱 |
火龍果 | 48元/箱 |
(1)當時,某顧客一次購買蘋果和車厘子各1箱,需要支付_____元,小石會得到______元;
(2)在促銷活動中,為保障小石每筆訂單所得到的金額不低于促銷前總價的七折,則的最大值為_____.
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【題目】如圖,AB∥CD,以點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F兩點,再分別以E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點P,連接AP,交CD于點M,若∠ACD=110°,則∠CMA的度數(shù)為( )
A.30°B.35°C.70°D.45°
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【題目】如圖1,在三角形紙板中,,,,點是邊上的一個點(不與點重合),沿折疊紙板,點的對應點是點.
(1)如圖2,當點在射線上時,________°.
(2)若,且點不在直線右側(cè),則點到的距離是__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某縣2015年初中畢業(yè)生數(shù)學質(zhì)量檢測成績等級的分布情況,隨機抽取了該縣若干名初中畢業(yè)生的數(shù)學質(zhì)量檢測成績,按A,B,C,D四個等級進行統(tǒng)計分析,并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖:
請根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次抽取的學生有 名;補全條形統(tǒng)計圖1;
(2)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請估計該縣1430名初中畢業(yè)生數(shù)學質(zhì)量檢測成績?yōu)?/span>A級的人數(shù)是
(3)某校A等級中有甲、乙、丙、丁4名學生成績并列第一,現(xiàn)在要從這4位學生中抽取2名學生在校進行學習經(jīng)驗介紹,用列舉法求出恰好選中甲乙兩位學生的概率。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了了解本校學生采用何種方式上網(wǎng)查找所需要的學習資源,隨機抽取部分學生了解情況,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成頻數(shù)分布表及頻數(shù)分布直方圖.
(1)頻數(shù)分布表中的值:_____________,______________;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若全校有1000名學生,估計該校利用搜索引擎上網(wǎng)查找學習資源的學生有多少名?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,直線EF分別交直線AB、CD于點G、H,GI、HI分別平分∠BGH、∠GHD.
(1)求證GI⊥HI.
(2)請用文字概括(1)所證明的命題: .
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