【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,OD⊥AB,與AC交于點(diǎn)E,∠D=2∠A.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)求證:DE=DC;
(3)若OD=5,CD=3,求AC的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1))連接OC.證∠D=∠COB.由OD⊥AB,得∠COB+∠COD=90°.可證∠D+∠COD=90°.即∠DCO=90°;
(2)由∠DCE+∠ACO=90°,∠AEO+∠A=90°和∠A=∠ACO,∠DEC=∠AEO,可得∠DEC=∠DCE ,即DE=DC.
(3)先求得OC=4,AB=2OC=8, OE=OD-DE=2,再證△AOE∽△ACB,得,
設(shè)AC=x,則BC= ,
在△ABC中,由AC2+BC2=AB2,求得x=.
證明:(1)連接OC.
在⊙O中,OA=OC,
∴∠ACO=∠A,故∠COB=2∠A.
又∵∠D=2∠A,
∴∠D=∠COB.
又∵OD⊥AB,∴∠COB+∠COD=90°.
∴∠D+∠COD=90°.即∠DCO=90°.
即OC⊥DC,又點(diǎn)C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切線.
(2)∵∠DCO=90°,∴∠DCE+∠ACO=90°.
又∵OD⊥AB,∴∠AEO+∠A=90°.
又∵∠A=∠ACO,∠DEC=∠AEO,
∴∠DEC=∠DCE
∴DE=DC.
(3)∵∠DCO=90°,OD=5,DC=3,
∴OC=4,
∴AB=2OC=8,又DE=DC,OE=OD-DE=2
在△AOE與△ACB中,
∠A=∠A,∠AOE=∠ACB=90°
∴△AOE∽△ACB,
∴,
設(shè)AC=x,則BC=
在△ABC中,AC2+BC2=AB2,求得x=
所以AC的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若兩個(gè)有理數(shù)的和等于這兩個(gè)有理數(shù)的積,則稱這兩個(gè)有理數(shù)互為相依數(shù).例如:有理數(shù)與3,因?yàn)?/span>+3=×3.所以有理數(shù)與與3是互為相依數(shù).
(1)直接判斷下列兩組有理數(shù)是否互為相依數(shù),
①-5與-2;②-3與;
(2)若有理數(shù)與-7 互為相依數(shù),求m的值;
(3)若有理數(shù)a與b互為相依數(shù),b與c互為相反數(shù),求式子5(ab+c)-2(a-b)-4的值;
(4)對(duì)于有理數(shù)a(a≠0,1),對(duì)它進(jìn)行如下操作:取a的相依數(shù),得到a1;取a1的倒數(shù),得到a2;取a2的相依數(shù),得到a3;取a3的倒數(shù),得到a4;…,;依次按如上的操作得到一組數(shù)a1,a2,a3,…,an , 若a=,試著直接寫(xiě)出a1,a2,a3,…, a2018的和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計(jì)如圖所示,關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ).
A、眾數(shù)是6噸 B、平均數(shù)是5噸 C、中位數(shù)是5噸 D、方差是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的方格紙中,小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),是一個(gè)格點(diǎn)三角形(即的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上),根據(jù)要求回答下列問(wèn)題:
畫(huà)出先向左平移6格,再向上平移格所得的;
利用網(wǎng)格畫(huà)出中邊上的高.
過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線,將分成面積相等的兩個(gè)三角形;
畫(huà)出與有一條公共邊,且與全等的格點(diǎn)三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,E為AB邊上一點(diǎn),DE=DC,點(diǎn)F為線段DE上一點(diǎn),滿足∠DFC=∠A,連結(jié)CE.
(1)求證:AD=FC;
(2)求證:CE是∠BCF的角平分線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形放置在平面直角坐標(biāo)系上,點(diǎn)分別在軸,軸的正半軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)是,其中,反比例函數(shù)y=的圖象交交于點(diǎn).
(1)_____(用的代數(shù)式表示)
(2)設(shè)點(diǎn)為該反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn),且它的橫坐標(biāo)恰好等于,連結(jié).
①若的面積比矩形面積多8,求的值。
②現(xiàn)將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn),若點(diǎn)恰好落在軸上,直接寫(xiě)出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某初中對(duì)“為貧困家庭捐款活動(dòng)”進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù).如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖,圖中從左到右各長(zhǎng)方形高度之比為3:4:5:8,又知此次調(diào)查中捐15元和20元的人數(shù)共26人.
(1)該校一共抽查了________人.
(2)學(xué)生捐款數(shù)的眾數(shù)是________元、中位數(shù)是________元.
(3)若該校共有1000名學(xué)生,請(qǐng)你估算全校學(xué)生共捐款多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知□ABCD,AB//x軸,AB=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限,點(diǎn)P是□ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)若點(diǎn)P在邊BC上,PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P在邊AB,AD上,點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上,點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn),如圖2,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PM,過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線GM,它們相交于點(diǎn)M,將△PGM沿直線PG翻折,當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,、相交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)求證:.
(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接.若,,求四邊形的周長(zhǎng).
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