Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y＝x2﹣4x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，連接BD，DC，CE．點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥CE，垂足為H．點(diǎn)F是y軸上一點(diǎn)，連接PF并延長交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OM⊥PG，垂足為M．

（1）當(dāng)PH取得最大值時(shí)，求PE+PF+OF的最小值；

（2）當(dāng)PE+PF+OF取得最小值時(shí)，把△OMF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)a°（0＜a≤360°），記旋轉(zhuǎn)過程中的△OMF為△OM′F′．直線M′F′與x軸的交點(diǎn)為K．當(dāng)△OF′K是以OK為底的等腰三角形時(shí)，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）PE+PF+OF的最小值＝5+；（2）點(diǎn)M′的坐標(biāo)為：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）先求得拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求直線CE解析式，再根據(jù)平行線一次項(xiàng)系數(shù)相等求經(jīng)過點(diǎn)P且平行于CE的直線解析式，解方程組求點(diǎn)P坐標(biāo)，求PE+PF+OF最小值即求PF+OF的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可；

（2）△OF′K是以OK為底的等腰三角形，按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可分四種情形：①點(diǎn)M′在第三象限，OF′＝KF′，點(diǎn)M′在第二象限，OF′＝KF′，③點(diǎn)M′在第一象限，OF′＝KF′，④點(diǎn)M′在第四象限，F′K＝OF′；分別討論即可．

解：（1）在拋物線y＝x2﹣4x﹣4中，令x＝0，則y＝﹣4，∴C（0，﹣4），

令y＝0，得x2﹣4x﹣4＝0，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴A（2﹣2，0），B（2+2，0）

∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴頂點(diǎn)D（2，﹣8），E（2，0），

易求得直線CE解析式為：y＝2x﹣4，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P且平行于CE的直線解析式為y＝2x+b

由x2﹣4x﹣4＝2x+b，得x2﹣6x﹣4﹣b＝0，△＝（﹣6）2﹣4（﹣4﹣b）＝52+4b，

∵△＝0時(shí)，點(diǎn)P到CE的距離PH最大，∴52+4b＝0，即：b＝﹣13

∴y＝2x﹣13，解方程組得

∴P（3，﹣7）

如圖1，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵PE+PF+OF中PE是定值，

∴PE+PF+OF的最小即PF+OF最小，令FM＝OF，則PF+OF＝PF+FM＝PM

此時(shí)＝，∵∠OGF+∠GOM＝∠GOM+∠FOM＝90°

∴∠OGF＝∠FOM，

∵∠FOG＝∠FMO＝90°

∴△FOG∽△FMO

∴＝＝

∴＝

∵△GPQ∽△GFO

∴＝＝

∴QG＝，

∴G（﹣，0）

∴PG＝，GM＝

∴PM＝PG﹣GM＝，

在△PEQ中，PE＝＝＝5

∴PE+PF+OF的最小值＝5+；

（2）①如圖2，點(diǎn)M′在第三象限，∵△OF′K是以OK為底的等腰三角形，∴OF′＝KF′＝3，F′M′＝

∴M′K＝KF′﹣F′M′＝，

∴OK＝＝＝，

設(shè)M′（m，n），則﹣nOK＝KM′M′O

∴﹣n＝×，解得：n＝﹣，

∵tan∠KOM′＝＝，即﹣×＝m

∴m＝﹣，

∴M′（﹣，﹣）；

②如圖3，點(diǎn)M′在第二象限，OF′＝KF′，作F′H⊥x軸于H，作M′R⊥y軸于R，

∵OF′＝KF′，F′H⊥x軸

∴OH＝HK，

∵KM′＝KF′+F′M′＝3+＝，

∴OK＝＝＝

∵∠ORM′＝∠KM′O＝90°，∠ROM′+∠KOM′＝∠OKM′+∠KOM′＝90°

∴∠ROM′＝∠OKM′

∴△OM′R∽△KOM′

∴＝＝，即：＝＝

∴M′R＝，OR＝，

∴M′（﹣，）；

③如圖4，作M′G⊥x軸于G，點(diǎn)M′在第一象限，OF′＝KF′，∵F′O＝F′K＝3，M′K＝3﹣＝，

∴OK＝＝＝，M′G＝＝＝，

∵tan∠M′OK＝＝＝＝

∴OG＝，

∴M′（，）；

④如圖5，點(diǎn)M′在第四象限，作M′G⊥x軸于G，∵F′K＝OF′＝3

∴M′K＝M′F′+F′K＝+3＝

∴OK＝＝＝

∴M′G＝＝，OG＝＝，

∴M′（，﹣）；

綜上所述，點(diǎn)M′的坐標(biāo)為：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．