【題目】如圖,四邊形OABC中,.OA=OC, BA=BC.以O為圓心,以OA為半徑作☉O
(1)求證:BC是☉O的切線:
(2)連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)D,延長AO交⊙O于點(diǎn)E,與此的延長線交于點(diǎn)F若.
①補(bǔ)全圖形;
②求證:OF=OB.
【答案】(1)證明見解析(2)①圖見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)連接AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠OCA,∠BAC=∠BCA,得到∠OCB=∠OAB=90°,根據(jù)切線的判定定理證明;
(2)①根據(jù)題意畫出圖形;
②根據(jù)切線長定理得到BA=BC,得到BD是AC的垂直平分線,根據(jù)垂徑定理、圓心角和弧的關(guān)系定理得到∠AOC=120°,根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論.
(1)證明:如圖1,連接AC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∴∠OAC+∠BCA=∠OCA+∠BCA,即∠OCB=∠OAB=90°,
∴OC⊥BC,
∴BC是⊙O的切線;
(2)①解:補(bǔ)全圖形如圖2;
②證明:∵∠OAB=90°,
∴BA是⊙O的切線,又BC是⊙O的切線,
∴BA=BC,
∵BA=BC,OA=OC,
∴BD是AC的垂直平分線,
∴,
∵,
∴=,
∴∠AOC=120°,
∴∠AOB=∠COB=∠COE=60°,
∴∠OBF=∠F=30°,
∴OF=OB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)聯(lián)歡晚會傳承創(chuàng)新亮點(diǎn)多,收視率較往年大幅增長.成都高新區(qū)某學(xué)校對部分學(xué)生就2020年春晚的關(guān)注程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)査的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了如圖所示的兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖(其中A表示“非常關(guān)注”;B表示“關(guān)注”;C表示“關(guān)注很少”;D表示“不關(guān)注”).
請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)直接寫出m=______;估計該校1800名學(xué)生中“不關(guān)注”的人數(shù)是______人;
(2)在一次交流活動中,老師決定從本次調(diào)查回答“關(guān)注”的同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)來談?wù)勊麄兊南敕ǎ敬握{(diào)查回答“關(guān)注”的這些同學(xué)中只有一名男同學(xué),請用畫樹狀圖或列表的方法求選取到兩名同學(xué)中剛好有這位男同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對“防溺水”安全知識的掌握情況,從全校1500名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測試,并將測試成績(百分制,得分均為整數(shù))進(jìn)行統(tǒng)計分析,繪制了不完整的頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖.
組別 | 成績x(分) | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
A組 | 50≤x<60 | 6 | 0.12 |
B組 | 60≤x<70 | a | 0.28 |
C組 | 70≤x<80 | 16 | 0.32 |
D組 | 80≤x<90 | 10 | 0.20 |
E組 | 90≤x≤100 | 4 | 0.08 |
由圖表中給出的信息回答下列問題:
(1)表中的a= ;抽取部分學(xué)生的成績的中位數(shù)在 組;
(2)把如圖的頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整;
(3)如果成績達(dá)到80分以上(包括80分)為優(yōu)秀,請估計該校1500名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(0,4),(4,0),(8,0),⊙M是△ABC的外接圓,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2.給出如下定義:在圖形W1上存在兩點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B可以重合),在圖形W2上存在兩點(diǎn)M,N,(點(diǎn)M于點(diǎn)N可以重合)使得AM=2BN,則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系
(1)如圖1,點(diǎn)C(1,0),D(-1,0),E(0,),點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(點(diǎn)P可以與點(diǎn)D,E重合),連接OP,CP.
①線段OP的最小值為_______,最大值為_______;線段CP的取值范直范圍是_____;
②在點(diǎn)O,點(diǎn)C中,點(diǎn)____________與線段DE滿足限距關(guān)系;
(2)如圖2,⊙O的半徑為1,直線(b>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F,G.若線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系,求b的取值范圍;
(3)⊙O的半徑為r(r>0),點(diǎn)H,K是⊙O上的兩個點(diǎn),分別以H,K為圓心,1為半徑作圓得到⊙H和K,若對于任意點(diǎn)H,K,⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系,直接寫出r的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017江蘇省常州市)為了解某校學(xué)生的課余興趣愛好情況,某調(diào)查小組設(shè)計了“閱讀”、“打球”、“書法”和“其他”四個選項,用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了該校部分學(xué)生的課余興趣愛好情況(每個學(xué)生必須選一項且只能選一項),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下統(tǒng)計圖:
根據(jù)統(tǒng)計圖所提供的信息,解答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查中的樣本容量是 ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校共有2000名學(xué)生,請根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果估計該校課余興趣愛好為“打球”的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖象與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),它的對稱軸是直線.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)連接,求線段的長;
(3)若點(diǎn)在軸上,且為等腰三角形,請求出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線.
(1)拋物線的對稱軸為_______;
(2)若當(dāng)時,的最小值是,求當(dāng)時,的最大值;
(3)已知直線與拋物線存在兩個交點(diǎn),設(shè)左側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn),當(dāng)時,求的取值范圍.
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