【題目】在正方形ABCD和正方形DEFG中,頂點(diǎn)B、D、F在同一直線上,H是BF的中點(diǎn).
(1)如圖1,若AB=1,DG=2,求BH的長;

(2)如圖2,連接AH,GH.

小宇觀察圖2,提出猜想:AH=GH,AH⊥GH.小宇把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:延長AH交EF于點(diǎn)M,連接AG,GM,要證明結(jié)論成立只需證△GAM是等腰直角三角形;
想法2:連接AC,GE分別交BF于點(diǎn)M,N,要證明結(jié)論成立只需證△AMH≌△HNG.

請你參考上面的想法,幫助小宇證明AH=GH,AH⊥GH.(一種方法即可)

【答案】
(1)

解:解:∵正方形中ABCD和正方形DEFG,

∴△ABD,△GDF為等腰直角三角形.

∵AB=1,DG=2,

∴由勾股定理得BD= ,DF=2

∵B、D、F共線,

∴BF=3

∵H是BF的中點(diǎn),

∴BH= BF=


(2)

解:證法一:

如圖1,延長AH交EF于點(diǎn)M,連接AG,GM,

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線,

∴AB∥EF.

∴∠ABH=∠MFH.

又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,

∴△ABH≌△MFH.

∴AH=MH,AB=MF.

∵AB=AD,

∴AD=MF.

∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,

∴△ADG≌△MFG.

∴∠AGD=∠MGF,AG=MG.

又∵∠DGM+∠MGF=90°,

∴∠AGD+∠DGM=90°.

∴△AGM為等腰直角三角形.

∵AH=MH,

∴AH=GH,AH⊥GH.

證法二:

如圖2,連接AC,GE分別交BF于點(diǎn)M,N,

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共線,

∴AC⊥BF,GE⊥BF,DM= BD,DN= DF.

∴∠AMD=∠GNH=90°,MN= BF.

∵H是BF的中點(diǎn),

∴BH= BF.

∴BH=MN.

∴BH﹣MH=MN﹣MH.

∴BM=HN.

∵AM=BM=DM,

∴AM=HN=DM.

∴MD+DH=NH+DH.

∴MH=DN.

∵DN=GN,

∴MH=GN.

∴△AMH≌△HNG.

∴AH=GH,∠AHM=∠HGN.

∵∠HGN+∠GHN=90°,

∴∠AHM+∠GHN=90°.

∴∠AHG=90°.

∴AH⊥GH.

∴AH=GH,AH⊥GH.


【解析】(1)先根據(jù)勾股定理得出AB,DG,進(jìn)而求出BF,即可得出結(jié)論;(2)證法一、先判斷△ABH≌△MFH,進(jìn)而判斷出△ADG≌△MFG.即可判斷出△AGM為等腰直角三角形,即可得出結(jié)論;證法二、先判斷出MN= BF.進(jìn)而判斷出△AMH≌△HNG,即可判斷出∠AHM+∠GHN=90°.即可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì),掌握矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線相等即可以解答此題.

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(1)通過計(jì)算(可用計(jì)算器)比較下列(1)-(7)組兩數(shù)的大。海ㄔ跈M線上填上 " "" ")

(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;

(2)歸納第(1)問的結(jié)果,可以猜想出 的大小關(guān)系;

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