【題目】如圖1,已知矩形ABCD,連接AC,將△ABC沿AC所在直線翻折,得到△AEC,AE交CD于點F.
(1)求證:DF=EF;
(2)如圖2,若∠BAC=30°,點G是AC的中點,連接DE,EG,求證:四邊形ADEG是菱形.
【答案】(1)證明見詳解;(2)證明見詳解.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC,∠D=∠B=90°,由折疊的性質(zhì)得到∠E=∠B=90°,CE=BC.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AEC=∠B=90°,CE=BC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE= AC,CE=AG=EG=AD,根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠D=∠B=90°.
∵將△ABC沿AC所在直線翻折,得到△AEC,
∴∠E=∠B=90°,CE=BC,
∴∠D=∠E,AD=CE.
∵∠AFD=∠CFE,
∴△ADF≌△CEF(AAS),
∴DF=EF;
(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°.
∵將△ABC沿AC所在直線翻折,得到△AEC,
∴∠AEC=∠B=90°,CE=BC.
∵∠CAB=30°,
∴∠CAE=30°,
∴CEAC.
∵點G是AC的中點,
∴CE=AG=EG=AD,
∴∠AEG=∠EAG=30°,
∴∠DAE=30°,
∴∠DAE=∠AEG,
∴AD∥GE,
∴四邊形ADEG是菱形.
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【題目】將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,點.
(1)點為邊上一點(點不與重合),沿將紙片折疊得的對應(yīng)點,邊與軸交于點.
①如圖1,當(dāng)點剛好落在軸上時,求點的坐標(biāo)
②如圖2,當(dāng)時,若線段在軸上移動得到線段(線段平移時不動),當(dāng)△A′O′Q′周長最小時,求OO′的長度.
(2)如圖3,若點為邊上一點(點不與重合),沿將紙片折疊得的對應(yīng)點,當(dāng)時,求點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC延長線上一點,DE⊥AB于點E,EF⊥BC于點F.若CD=3AE,CF=6,則AC的長為_____.
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【題目】(11·湖州)如圖,已知拋物線經(jīng)過點(0,-3),請你確定一個
b的值,使該拋物線與x軸的一個交點在(1,0)和(3,0)之間。你確定的b的值是 ▲ 。
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【題目】如圖,已知正方形ABCD,AB=8,點E是射線DC上一個動點(點E與點D不重合),連接AE,BE,以BE為邊在線段AD的右側(cè)作正方形BEFG,連結(jié)CG.
(1)當(dāng)點E在線段DC上時,求證:△BAE≌△BCG;
(2)在(1)的條件下,若CE=2,求CG的長;
(3)連接CF,當(dāng)△CFG為等腰三角形時,求DE的長.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC為 度.
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【題目】已知:在中,,點是的中點,點是邊上一點.
(1)直線垂直于于點交于點(如圖1),求證;
(2)直線垂直于,垂足為交的延長線于點(如圖2).求證:.
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【題目】在⊙O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如圖當(dāng)PQ∥AB時,求PQ的長;
(2)當(dāng)點P在BC上移動時,線段PQ長的最大值為______;此時,∠POQ的度數(shù)為______.
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