Question

【題目】將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點．

(1)點為邊上一點(點不與重合)，沿將紙片折疊得的對應點，邊與軸交于點．

①如圖1，當點剛好落在軸上時，求點的坐標

②如圖2，當時，若線段在軸上移動得到線段(線段平移時不動)，當△A′O′Q′周長最小時，求OO′的長度．

(2)如圖3，若點為邊上一點(點不與重合)，沿將紙片折疊得的對應點，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①A'（0，-1）；②；（2）

【解析】

（1）①先利用勾股定理求出AB=2，根據(jù)折疊求出BA'，再利用線段的和差求出OA'即可得出結論；
②先由折疊求出∠BPA=135°，進而求出OP=1，即可求出PA'，求出點A'的坐標，從而求出直線A'B的解析式，求出OQ的長度，最后用等腰三角形的三線合一即可得出結論；
（2）先求出∠OPA=105°，再構造直角三角形，建立方程即可求出結論．

解：（1）①∵A（，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，根據(jù)勾股定理得，AB=2，

由折疊知，BA'=BA=2，PA=PA'，
∴OA'=BA'-OB=1，
∴A'（0，-1）；
②∵A′P⊥OA，
∴∠APA'=90°，
由折疊知，∠BPA=∠BPA'=（360°-∠APA'）=135°，
∴∠BPO=45°，
∴OP=OB=1，

∴PA'=PA=OA-OP=-1，
∴A'（1，1-），
∵B（0，1），
∴直線A'B的解析式為y=-x+1，
令y=0，得，-x+1=0，

，∴Q（，0），
∴OQ=，
∵線段OQ在x軸上移動得到線段O′Q′（線段OQ平移時A′不動），要△A′O′Q′周長最小，
則有，PA'是O'Q的垂直平分線，P是垂足，

（2）如圖，

在Rt△AOB中，

∴∠OAB=30°
∵∠BPA'=30°，
∴∠APA'=150°，
由折疊知，∠APO=∠A'PO=（360°-150°）=105°，
過點P作PG⊥OA于G，
在Rt△PGA中，∠APG=60°，
∴∠OPG=45°，
設PG=m，
在Rt△POG中，AG=PG=m，
在Rt△PGO中，OG=PG=m，
∴OA=OG+AG=m+m=，