Question

【題目】已知：在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．

（1）直線垂直于于點(diǎn)交于點(diǎn)(如圖1)，求證；

（2）直線垂直于，垂足為交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(如圖2)．求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）先證出∠ACE＝∠CBG，再由ASA證明△ACE≌△CBG，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）先證出∠CEB＝∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM．

（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°．
∴∠CAE＝∠BCG．
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG＋∠BCF＝90°．
又∠ACE＋∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG．
在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB．
∴AE＝CG．
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°．
∴∠CMA＝∠BEC．
又∵AC＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中

∴△BCE≌△CAM（AAS）．